Автоколебания устойчивость процесса резания

Задача 8. На гибкий стальной вал (рис. 8) диаметром d, длиной 2l насажен диск диаметром D, толщиной h. Центр тяжести диска О₁ расположен на расстоянии от оси симметрии вала О. Составить дифференциальные уравнения малых свободных колебаний диска при постоянной угловой скорости вращения вала . Массой вала по сравнению с массой диска пренебречь. Определить критическую скорость вращения вала ^*, при которой амплитуда колебаний может быть бесконечно большой.

Рис. 8

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим отклоненное состояние диска (рис. 8, а). В этом положении на диск действует упругая восстанавливающая сила

(1)

где с – жесткость вала при изгибе;

Так как то

(2)

Дифференциальное уравнение движения в векторной форме для случая (а) имеет вид

(3)

где m – масса диска.

Уравнение (3) представим в проекциях на координатные оси x, y:

При установившемся режиме решение уравнений (4) имеет вид

(5)

где – собственная частота колебаний вала.

Неограниченное увеличение амплитуды наступает при

,

где – масса диска; c – заданная жесткость при изгибе.

Замечание.При  < * отклонение центра тяжести диска от оси вращения равно r₁+e, а при  > * смещение центра O₁ происходит в сторону центра вращения O – (r₁+e) (рис. 8, б).

Как следует из (5), при высоких скоростях вращения ( ) происходит самоцентрирование диска (смещение ).

Указанная на рис. 8, а схема может быть представлена в реальных производственных условиях в виде кулачкового вала 1, имеющего кулачок 2 с эксцентриситетом , в процессе шлифования рабочего профиля кулачка (рис. 8, в).

В процессе самоцентрирования кулачка происходит изгиб цилиндрической части 1, что приводит к изменению геометрической формы кулачка в процессе его шлифования кругом 3.

Устанавливая величину прогиба вала 1 в точке О как функцию времени, можно внести коррективы в управляющую программу координатно-шлифовального станка с ЧПУ.

Задача 9. При решении задач с кулоновым трением обычно принимается, что сила трения не зависит от скорости. Однако более точные исследования показывает, что это не всегда отражает физическую сторону явления и может вызвать качественное искажение результатов решения.

На рис. 9, а изображен маятник Фруда, масса m укреплена на конце рычага длиной l. Точка подвеса представляет собой втулку, надетую на вращающийся с постоянной угловой скоростью вал. Между втулкой и валом возникают вязкое трение (момент сил вязкого трения, , (  – угловая скорость движения маятника) и сухое трение с нелинейной характеристикой, изображенной на рис.9,б, причем величина момента сил сухого трения равна .

Рис. 9

Требуется: ограничиваясь при разложении в ряд слагаемыми, содержащими , получить дифференциальное уравнение свободных колебаний маятника; исследовать устойчивость малых свободных колебаний (ограничиваясь только линейным членом разложения момента трения). При решении считать, что номинальная скорость вращения вала соответствует точке перегиба на графике рис. 9, б.

РЕШЕНИЕ – ИССЛЕДОВАНИЕ. Составим дифференциальное уравнение движения маятника относительно некоторого отклоненного от вертикали положения:

(1)

Разложим функцию возмущения в ряд в окрестности номинального значения :

(2)

Ограничиваясь линейной частью уравнения, получаем

.

Отсюда найдем угол отклонения маятника от вертикали при отсутствии колебаний, т.е. при .

. (3)

Обозначим . Тогда

При колебания будут затухающими. При система самовозбуждающаяся, т.е. возможны возрастающие во времени колебания. Действительное поведение системы можно исследовать, если в разложении (2) учесть нелинейные члены (например, до третьего порядка малости). Тогда

Обозначим

Тогда в точке перегиба и

Введем

Получим уравнение Рэлея – дифференциальное уравнение свободных колебаний маятника

где (4)

Задача 10. Исследовать устойчивость малых свободных колебаний маятника Фруда (см. задачу № 9), используя метод Ван-дер-Поля.

Принять, что момент инерции маятника , его масса m = 5 кг, длина l = 0,3 м. Коэффициенты разложения момента сил трения в окрестности точки перегиба (рис.10,б) равны ; ; ; .

РЕШЕНИЕ – ИССЛЕДОВАНИЕ. Запишем уравнение движения маятника при нелинейной характеристике сил трения (уравнение (4) задачи № 9)

(1)

где может рассматриваться как малый параметр.

Решение уравнения (1) ищем в виде

(2)

где А и  – неопределенные, медленно изменяющиеся во времени функции, т.е. производные по времени от этих функций имеют тот же порядок малости, что и параметр .

Найдем скорость :

Поскольку в решении имеются две неопределенные функции (А и ), необходимо, чтобы

(3)

тогда

, (4)

(5)

Подставим (4) и (5) в (1):

(6)

Для определения двух неизвестных и получены два уравнения (3) и (6), из которых

(7)

По методу Ван-дер-Поля, функции (7) заменяют их средними за период значениями, считая  параметром, а не функцией времени т.е.

(8)

Для вычисления интегралов (8) вводится новая независимая переменная

Поскольку имеет тот же порядок малости, что и параметр  , можно считать

При этом допущении получаем после интегрирования

, (9)

. (10)

Уравнение (9) определяет изменение амплитуды колебаний А во времени.

Из общей теории нелинейных колебаний известно, что равенство нулю правой части уравнения (9) свидетельствует о наличии предельных циклов – состояний равновесия на фазовой плоскости .

Найдем корни уравнения . Из (9) следует, что при и . Нулевой корень соответствует состоянию равновесия маятника, а ненулевой – периодическому движению.

Исследуем устойчивость равновесия и устойчивость периодического движения маятника. Допустим, что

, (11)

где – корни уравнения ; А – отклонение маятника от положения равновесия или периодического движения.

Подставим (11) в (9) и найдем производную

(12)

Разложим правую часть последнего уравнения в ряд, сохраняя только линейные члены:

(13)

Решение уравнения (13) имеет вид

, (14)

откуда следует, что движение (или состояние равновесия) маятника устойчиво при (если  > 0) и неустойчиво при .

В рассматриваемом случае (см. задачу № 35)  = 0,015>0 и

,

при , т.е. состояние равновесия неустойчиво.

При

Следовательно, предельный цикл колебаний является устойчивым т.е. маятник, выведенный из положения равновесия, совершает колебания с медленно изменяющейся амплитудой, стремящейся с ростом времени к предельному значению

Явление самовозбуждения системы, рассмотренное в задачах № 9 и № 10, имеет место при обработке деталей резанием.

При точении детали подача резца (или фрезы) теоретически должна происходить равномерно. Однако в результате имеющих место отклонений от геометрической формы элементов ходового винта и направляющих станины возникают колебания, приводящие к неравномерности движения. Эти особенности динамики процесса резания проявляются в связи с зависимостью силы сопротивления движению (силы резания) от скорости резания. Можно привести примеры уменьшения (силы резания) с ростом скорости точения или фрезерования типа . При точении твердосплавным резцом конструкционной стали n = 0,15; при фрезеровании твердосплавной торцовой фрезой ковкого чугуна или конструкционной стали n = 0,2.

Возникающие в процессе резания автоколебания являются предметом рассмотрения при решении задачи об устойчивости процесса резания.

Задача 11. На рис. 10 изображена передача с гибкой связью (схема привода токарного станка). В установившемся режиме работы вращающий момент двигателя уравновешивается моментом сил резания (моментами сил сопротивления можно в первом приближении пренебречь); соответствующие напряжения в ветвях передачи равны ₁₀ и ₂₀.

Рис. 10

Составить дифференциальные уравнения малых угловых колебаний шкивов I и II и определить собственные частоты колебаний, если передача имеет следующие параметры: r₁ = 10 см, r₂ = 20 см; момент инерции массы ведущего шкива I и ротора электродвигателя J₁ = 0,08 кгм², момент инерции массы ведомого шкива П и шпинделя станка J₂ = 0,1 кгм²; l = 0,6 м; площадь поперечного сечения гибкой связи F = 2·10^–4 м²; модуль упругости материала гибкой связи Е = 10⁸ Н/м²; угол упругого проскальзывания гибкой связи на шкиве ₀ = 150°; коэффициент трения гибкой связи и шкива f = 0,3.

Указание. Удлинение ветвей передачи от дополнительных напряжений ₁, и ₂, возникающих при колебаниях шкивов, определяется по формулам [6]:

РЕШЕНИЕ. Удлинение верхней и нижней ветвей передачи при колебаниях шкивов

(1)

С другой стороны,

(2)

В процессе колебаний на каждый из шкивов действует момент сил инерции , по принципу Даламбера, и момент от сил натяжения в ветвях передачи.

Дифференциальные уравнения свободных колебаний шкивов имеют вид

(3)