Принцип возможных перемещений

Задача 1. Найти зависимость между давлением p в гидроцилиндре и силой тяжести Q равномерно поднимаемого груза. Массами блоков и троса пренебречь (рис.1).

Рис. 1

РЕШЕНИЕ. Разложим силу давления , приложенную в точке С стержня АВ, на две одинаковые составляющие силы F/2, приложенные в точках А и В. Применим к механической системе, находящейся в состоянии равномерного движения, принцип возможных перемещений:

Точка P является мгновенным центром скоростей блока 1, a стержень АВ сохраняет в процессе перемещения горизонтальное положение. Отсюда следуют кинематические соотношения

с учетом которых получаем соотношение между давлением в гидроцилиндре р и силой Q:

(ньютонов).

Задача 2. Ползун весом G с помощью раздвижного шарнирного механизма может передвигаться по гладкой вертикальной направляющей. Найти зависимость между силой F и весом G при равномерном подъеме ползуна, если КПД раздвижного механизма  = 0,99ⁿ, где n — количество работающих шарниров (рис. 2, а)

Рис. 2

РЕШЕНИЕ. Применим к механизму принцип возможных перемещений, учитывая виртуальную работу реакции неидеальных связей через КПД механизма:

(1)

Путем варьирования координат точек приложения сил G и F найдем х и y. (рис. 2, б).

(2)

Подставим (2) в (1), получим

где “12” – число работающих шарниров.

Задача 3. Для заданного угла  определить соотношение между вращающим моментом , приложенным к кривошипу ОА кривошипно-шатунного механизма (рис.3) и силой , приложенной к ползуну В и удерживающей механизм в равновесии. Заданы моменты сил сопротивления вращению в шарнирах О, А, В соответственно; размеры ОА = r, АВ = l; коэффициент трения скольжения ползуна в направляющих f. Весом всех звеньев пренебречь.

Рис. 3

РЕШЕНИЕ. Согласно условию задачи, кривошипно-шатунный механизм является механической системой с неидеальными связями, находящейся в равновесии. На основании принципа возможных перемещений составим уравнение виртуальных работ всех активных сил и всех реакций неидеальных связей, приложенных к точкам (или телам) механической системы:

(1)

где , , и — возможные перемещения кривошипа, шатуна и ползуна соответственно.

Выпишем необходимые кинематические соотношения между и , используя свойство мгновенного центра скоростей P шатуна, теорему синусов и тригонометрические соотношения

(2)

Для определения силы нормального давления ползуна на направляющие составим уравнение равновесия механизма в форме моментов сил относительно центра О:

откуда

(3)

Подставим (2) и (3) в (I) и после сокращения на получим соотношение между М и Q в положении равновесия механизма:

(4)

Для часто рассматриваемого частного случая r=l выражение (4) удобно разрешается относительно искомой силы Q:

Задача 4. При алмазном шлифовании полупроводниковых пластин на станках планетарного типа предъявляются высокие требования к плоскостности и плоскопараллельности шлифуемых образцов, что обеспечивается их сложным движением между притирами по заранее рассчитанной траектории. Расчет траектории точек шестерен планетарной передачи может быть произведен на основе дифференциальных уравнений движения механизма, составленных для каждой степени свободы.

Пусть, например, механическая система, изображенная на рис. 4, движется в горизонтальной плоскости под действием двух пар сил с моментами и . Требуется составить дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах  и , где  – угол поворота водила ОВ,  – угол поворота шестерни 2 .Считать шестерни сплошными однородными дисками, водило – тонким однородным стержнем. Силами трения пренебречь. Принять

Рис. 4

РЕШЕНИЕ. Дня составления дифференциальных уравнений движения используем общее уравнение динамики Даламбера-Лагранжа. Кроме активных пар сил с моментами и , приложенных соответственно к водилу ОВ и шестерне 2, приложим к телам системы касательные силы инерции и моменты сил инерции , модули которых вычислим по формулам:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Чтобы в соотношениях (3) и (4) выразить и через независимые и применим метод Виллиса

, (7)

где

Из (7) получим

(8)

По методу Виллиса для шестерен 3 и 4 имеем

, (9)

Разделив (9) на (7), получим

Следовательно,

(10)

Составим уравнение виртуальных работ на основе принципа Даламбера-Лагранжа на возможном перемещении механической системы, когда

(11)

где .

С другой стороны, так как шестерня 2 в данном случае неподвижна, то и поэтому .

Для точки К касания шестерен 3 и 4 , с другой стороны, Объединяя оба соотношения, получаем , или

Подставляя эти кинематические характеристики в (11), получаем

откуда

(12)

Составим общее уравнение динамики на возможном перемещении механической системы, при котором

(13)

где откуда

С учетом этих кинематических соотношений из (13) получим

откуда

(14)

Итак, соотношения (12) и (14) являются системой дифференциальных уравнений движения для рассматриваемой механической системы с двумя степенями свободы.

ЗАМЕЧАНИЕ. На рис. 4 не изображены центробежные силы инерции и силы тяжести водила и шестерен, так как на указанных возможных перемещениях механической системы работа этих сил равна нулю.

Направление сил инерции (5), (6) и моментов сил инерции (1) – (4) противоположно направлению соответствующих линейных , и угловых , , , ускорений.

Знак минус в правых частях равенств (7) и (9) соответствует внешнему зацеплению шестерен. Знак плюс перед в левых частях этих же равенств соответствует противоположному направлению вращения  и .

При изображении векторов сил инерции и моментов сил инерции на чертеже условно считалось, что знаки производных такие же, как и у самих функций и в данный момент времени (указанный на чертеже).