5.3. Задание на выполнение работы
3.1. Определить оценки коэффициентов уравнения регрессии и проверить их значимость. Оценить адекватность полученной математической модели.
5.4. Методика выполнения работы
Каждое звено выполняет дисперсионный анализ применительно к своему индивидуальному заданию и тем результатам, которые получены в лаб. раб. № 4.
Все расчеты с использованием микрокалькулятора или других вычислительных средств производят по формулам (5.1) - (5.9), представленным в кратких теоретических сведениях.
Выводы по работе
В выводах следует дать анализ полученной математической модели, оценить силу влияния каждого из изученных ранее факторов на прочностные показатели цементного камня.
Сделать прогноз относительно оптимального сочетания компонентов комплексных добавок с целью получения максимальной прочности материала и вывод о практической целесообразности применения изученных добавок.
Контрольные вопросы
1. Какова методика планирования многофакторного эксперимента методом Бокса-Уилсона?
2. Как оценить значимость коэффициентов уравнения регрессии?
3. Что такое критерии Фишера и для чего он рассчитывается?
4. Как проверить адекватность математической модели?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
Постановка многофакторного эксперимента
методом последовательного симплексного планирования
6.1. Цель работы
1. Изучить методику постановки многофакторного эксперимента методом последовательного симплексного планирования.
2. Выполнить экспериментальные исследования, используя метод последовательного симплексного планирования и определить значения факторов, обеспечивающих экстремум функции отклика.
6.2. Краткие теоретические сведения
Метод последовательного симплексного планирования относится к методам поиска экстремума целевой функции, применение которого требует проведения минимально возможного числа опытов и весьма незначительных по объему вычислений. Этот метод относится к категории активного эксперимента и может использоваться как в практике научных исследований, так и в управлении технологическими процессами.
Существенным обстоятельством является хорошая приспособляемость метода для оптимизации объектов исследования при наличии «дрейфа», когда за искомое значение оптимума принимается только самая последняя информация - это важно учитывать при работе с вяжущими веществами, активность которых изменяется во времени.
При использовании метода последовательного симплексного планирования составляются так называемые симплекс-планы (симплексом называется простейшая выпуклая геометрическая фигура, число вершин которой всегда на единицу больше размерности факторного пространства; в двумерном пространстве, то есть на плоскости симплексом является любой треугольник, в трехмерном – любая треугольная пирамида – тетраэдр и т.д.).
Обычно имеют дело с регулярным симплексом, у которого расстояние между вершинами одинаково и условно в кодовой записи принимается равным единице.
Метод последовательного симплексного планирования состоит в следующем: планируют исходную серию опытов так, чтобы точки, соответствующие условиям проведения этих опытов, образовывали бы регулярный симплекс в факторном пространстве. После проведения опытов выявляется вершина, отвечающая условиям, при которых получаются наихудшие результаты. Далее строится новый симплекс, для чего наихудшая точка исходного симплекса заменяется новой, расположенной симметрично относительно центра грани симплекса, находящейся против наихудшей точки. Новая точка вместе с оставшимися снова образует регулярный симплекс, центр тяжести которого смещен по сравнению с исходным в направлении: худшая точка – центр тяжести остальных точек. Это направление в общем случае не является крутым, однако оно обращено в сторону повышения значения отклика.
После реализации опыта в дополнительной точке опять производится сопоставление результатов, снова выявляется наихудшая точка, которая также заменяется ее зеркальным отражением, и т.д. Шаговое восхождение с последовательным отбрасыванием наихудших точек повторяется до области, близкой к экстремуму.
Таким образом, после проведения начальных опытов (в вершинах симплекса) на каждом следующем «шаге» поиска требуется реализовать всего лишь один дополнительный опыт.
Координаты новой точки zij* , в которой должен быть поставлен очередной опыт, рассчитывают по формуле
,
(6.1)
где i = 1, 2,…, k – число изучаемых факторов;
j – номер вершины с минимальным значением отклика.
Если после движения в несколько шагов при перемещении очередного симплекса та или иная вершина сохраняет свое положение, то симплекс совершает оборот (вращение) вокруг этой вершины. Это означает, что либо в этой точке находится оптимум целевой функции, либо значение целевой функции в этой вершине определено неверно. Чтобы уточнить, какая ситуация имеет место, в этой точке вновь надо провести эксперимент и в дальнейшем работать с новым значением отклика.
При достижении области оптимума целесообразно уменьшить размер симплекса как правило на 1/4 начальной величины.
Оптимум считается достигнутым, если одна и та же точка входит в последовательные симплексы N число раз, где
(6.2)
При построении начального симплекса может иметь место два способа задания координат его вершин. Первый более простой способ предусматривает совпадение одной из вершин симплекса с началом координат, а остальные вершины расположены так, чтобы ребра, исходящие из первой вершины, образовывали бы одинаковые углы с соответствующими координатными осями (рис. 6.1).
В этом случае координаты вершин симплекса могут быть представлены следующим образом (табл. 6.1).
Длина ребра симплекса, то есть расстояния между его вершинами, принята равной единице.
Во втором случае центр симплекса, то есть центр плана эксперимента, помещается в начало координат (рис. 6.2), а (k + 1) - ую вершину – на ось хk; остальные вершины располагаются симметрично относительно координатных осей.
Таблица 6.1
Матрица симплексного планирования в общем виде
Номер опыта |
Координаты вершин матрицы симплекс-планирования |
||||
х1 |
х2 |
х3 |
... |
хk |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
... |
0 |
2 |
p |
q |
q |
... |
q |
3 |
q |
p |
q |
... |
q |
4 |
q |
q |
p |
... |
q |
. |
. |
. |
. |
... |
. |
. |
. |
. |
. |
... |
. |
. |
. |
. |
. |
... |
. |
k+1 |
q |
q |
q |
... |
p |
Примечание: p и q – некие условные значения в кодовой записи, которые определяются как
;
.
(6.3)
Этот вариант является более сложным и в данной лабораторной работе не используется.