1.5.3. Производящая функция для чисел Фибоначчи
Числа Фибоначчи – это элементы числовой последовательности, в которой каждый последующий элемент равен сумме двух предыдущих. Т.е. последовательность чисел Фибоначчи задается рекуррентным уравнением:
Воспользуемся понятием производящей функции для выражения общего члена чисел Фибоначчи.
Возьмем
в качестве последовательности базисных
функций
.
Ряд
сходится
при
и определяет производящую функцию
Помножив
данное выражение на x
и на
,
получим:
Сложив эти два выражения имеем:
Следовательно
.
Отсюда получается явный вид производящей функции
Корни знаменателя определяются из уравнения
Разложим F(x) на элементарные дроби, т.е.
Т.е. получим
Рассмотрим сумму бесконечно убывающих геометрических прогрессий
При
Следовательно
Отсюда
1.6. Z -–преобразование
1.6.1. Определение z – преобразования
При анализе и синтезе дискретных устройств широко используется Z–преобразование, играющее по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральное преобразование Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам. Рассмотрим основы теории этого функционального преобразования и некоторые его свойства.
Одностороннее Z-преобразование последовательности x(n) определяется формулой:
где
z
– комплексная переменная , а n
интерпретируется как дискретное время.
Из этого определения следует, что Z-
преобразование представляет собой
частный случай производящей функции,
в которой в качестве базисной используется
последовательность
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 1. Найти Z-преобразование единичного импульса.
Решение.
Т.к.
Пример 2. Найти Z-преобразование единичного сигнала
Решение.
В данном случае
,
для
Данный
ряд представляет собой бесконечную
сумму убывающей геометрической
последовательности знаменатель который
. Следовательно
сходится
при
Пример
3. Найти Z–
преобразование экспоненциальной
последовательности
Решение.
Вычисляя Z-преобразование,
получим
сходится
при
1.6.2. Обратное z – преобразование
Очень важно уметь переходить не только от последовательности к ее Z – преобразованию, но и обратно от Z–преобразования к последовательности. Последний переход формально определяется соотношением
В правой части этого равенства стоит контурный интеграл в z-плоскости по любому замкнутому контуру в области сходимости, охватывающему начало координат.
Обратное Z-преобразование можно найти несколькими способами:
Прямым вычислением контурного интеграла с использованием теоремы о вычетах
Разложением на простые дроби
Обычным делителем числителя на его знаменатель.
Разложением в степенной ряд.
Мы ограничимся рассмотрением двух первых из них.
Первый способ основан на известной теореме из курса теории функций комплексного переменного, позволяющего вычислить контурный интеграл через вычеты.
Рассмотрим
пример 4, в котором
В
этом случае мы имеем простой полюс в
точке
.
Следовательно:
.
При использовании второго способа Z-преобразование записывается в виде суммы простых дробей
Т.к.
каждое слагаемое
имеет обратное Z-преобразование
вида
,
получим
Например, рассмотрим выражение
Его можно записать в виде
В
результате получаем
