- •1.Разделы дисциплины и виды занятий (тематический план)
- •2. Содержание разделов дисциплины в третьем семестре
- •Раздел 16.
- •Раздел 17.
- •Раздел 18.
- •Раздел 19
- •Раздел 20
- •Раздел 21 Элементы вариационного исчисления и
- •3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •4. Методические рекомендации по организации изучения математики
- •Контрольные мероприятия
- •5. Рекомендуемый перечень тем практических занятий
- •6. Лабораторные работы
- •7. Темы, выносимые на самостоятельное изучение тема №1 операционное исчисление и задачи тау, тоэ.
- •Тема №2 вычисление вероятностей в классической схеме сиспользованием формул комбинаторики. Геометрические вероятности.
- •Тема №3 приложение теорем умножения и сложения вероятностей, формулы байеса.
- •Тема №4 числовые характеристики биноминального, равномерного, показательного и нормального распределений, распределения пуассона
- •Тема №5 частные случаи систем двух случайных величин
- •Тема №6 вычисление доверительного интервала
- •Тема №7 статистические оценки параметров распределения. Методы расчета сводных характеристик. Проверка статистических гипотез
- •Заключение
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
Тема №5 частные случаи систем двух случайных величин
Литература: [2], [3], [4].
Основные понятия
Распределение двух случайных величин и , или
двумерной случайной величины ( , не исчерпывается
распределением каждой из них , так как при этом не
учитывается зависимость, которая может существовать между ними.
Функции распределения двумерной случайной величины( , ) определяется как вероятность совместного выполнения неравенств < x и <y: .
Если представима в виде
, где некоторая
неотрицательная функция, то двумерную случайную величину
( , ) называет непрерывной, функцию плотностью
распределения двумерной случайной величины ( , ).
Плотность распределения случайной
величины выражается через совместную плотность p(x, y)
следующим образом:
Аналогично для плотности распределения случайной
величины имеем В отличие от совместной плотности распределения p(x, y) одномерные плотности и называют маргинальными.
Случайные величины и называются независимыми,
если их совместная функция распределения при любых
значениях аргументов x, y равна произведению маргинальных
функций распределения случайной величины и
случайной величины :
Пусть ( , непрерывная двумерная случайная
величина с плотностью распределения . Тогда для
независимости и необходимо и достаточно, чтобы совместная плотность распадалась в произведение маргинальных плотностей и :
Коэффициент корреляции
Величина называется ковариацией
случайных величин cov ( , ). Если ( , непрерывная
двумерная случайная величина с плотностью распределения
, то
cov ( , )=
Величина r=cov( , )/ называется коэффициент
корреляции случайных величин .
Свойства коэффициента корреляции
10. Модуль коэффициента корреляции не превосходит единицы,
20. Если независимые случайные величины, то r=0.
Обратное неверно: из условия r=0 (некоррелированность
случайных величин ) не следует независимость .
30. Если связаны линейной зависимостью, то
Свойства математического ожидания и дисперсии
10. Математическое ожидание постоянной равно этой
постоянной, т.е.
20. Математическое ожидание суммы случайных величин
равно сумме их математических ожиданий, т. е.
(предполагается, что и существуют).
30. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т. е.
(предполагается, что и существуют).
40. Дисперсия постоянной равна нулю, т. е. ,
50. Дисперсия суммы случайных величин равно сумме их дисперсий, т. е. (предполагается, что и существуют).
Пример решения задачи
Задача. Задана дискретная двухмерная случайная величина (X, Y);
X/Y |
1 |
2 |
4 |
1 |
0.4 |
0.2 |
0.1 |
3 |
0.1 |
0.1 |
0.1 |
Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон распределения Х при условии, что Y=3; в) условный закон распределения Y при условии, что Х=1; г) числовые характеристики двумерной случайной величины.
Решение. а) Сложим вероятности по столбцам и получим безусловный закон распределения Х:
X |
1 |
2 |
4 |
P |
0.5 |
0.3 |
0.2 |
Cложим вероятности по строкам. Безусловный закон распределения Y имеет вид:
-
Y
1
3
P
0.7
0.3
б) Вычислим:
p(x1/y2)=p(x1,y2)/p(y2)=0.1/0.3=1/3,
p(x2/y2)=p(x2,y2)/p(y2)=0.1/0.3=1/3,
p(x3/y2)=p(x3,y2)/p(y2)=0.1/0.3=1/3.
Запишем искомый закон распределения Х:
-
X
1
2
4
P
1/3
1/3
1/3
в) Аналогично запишем закон распределения Y:
-
Y
1
3
P
4/5
1/5
г) Числовые характеристики вычислим по формулам:
M(X)= x1P1+x2P2+x3P3 =11/3+2 1/3+41/3=7/3,
здесь Р1 ,Р2 ,Р3 необходимо брать из таблицы безусловного закона распределения Х, Р. Аналогично вычислим M(Y)= 14/5+31/5=7/5. Дисперсия D(X)=x12 p1+x22 p2 +x32 p3 – M 2(X)=121/3++22 1/3+421/3 - (7/3)2=14/9 D(Y)=12 4/5+32 1/5- (7/5)2=16/25. Cредние квадратические отклонения
(X)= (14/9), (Y)=(16/25)
Форма отчетности: устный опрос