Тема 5. Исследование функции с помощью производных и построение ее графика

27. Возрастание и убывание функции на интервале. Связь со знаком первой производной.

28. Точки максимума и минимума функции (точки экстремума). Необходимое условие экстремума кусочно-дифференцируемой функции одной переменной. Критические точки функции.

29. Проверка критической точки на существование в ней экстремума с помощью знака первой производной. Достаточный признак экстремума, основанный на знаке первой производной.

30. Проверка стационарной точки на существование в ней экстремума, основанный на знаке второй производной. Достаточный признак экстремума, основанный на знаке второй производной.

31. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной и кусочно-дифференцируемой функции на отрезке.

32. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Связь направления выпуклости графика функции со знаком второй производной.

33. Понятие асимптоты графика функции. Вертикальные асимптоты и их отыскание.

34. Наклонные асимптоты и их отыскание.

35. Общая схема исследования функции: область определения; исследование поведения функции на границе ее области определения (предел функции на границе, асимптоты); нахождение первой производной; определение с ее помощью критических точек, интервалов возрастания и убывания функции и точек экстремума; нахождение второй производной; определение с ее помощью интервалов выпуклости и вогнутости графика функции и точек перегиба. Построение ее графика по результатам исследования.

Литература: [1, гл. V, упр. 3, 14, 22, 27, 32, 34, 40, 52, 54, 62, 67-71, 75, 78, 84, 95, 103], [2, гл. VII, §2], [4, гл. V, § 25].

Раздел III. Функции нескольких переменных

Тема 6. Функции нескольких переменных

36. Определение функции нескольких переменных. Примеры. Область определения, геометрическое представление области определения функции 2-х переменных.

37. График функции 2-х переменных, линии уровня.

38. Поверхности уровня функции трех переменных.

39. Частные приращения и частные производные первого порядка.

40. Частные производные высших порядков. Смешанные производные.

41. Градиент функции в точке. Свойства вектора градиента.

42. Полное приращение и полный дифференциал функции 2-х переменных в точке. Выражение полного дифференциала через градиент функции в точке.

43. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.

44. Производная функции по направлению и формула ее вычисления через градиент.

45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной уравнением z=f(x,y) и уравнением F(x,y,z)=0.

46. Формула Тейлора для функции двух переменных.

47. Максимум и минимум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.

48. Достаточное условие экстремума в стационарной точке для функции 2-х переменных.

49. Нахождение наибольших и наименьших значений функции, заданной в замкнутой области.

50. Метод наименьших квадратов обработки экспериментальных данных.

Литература. [1, гл. VIII, упр. 1-10, 34-35, 40-42], [2, гл. VIII, §1-4], [4, гл. IX, §§ 43-46].