Вопросы программы 1-й части курса математического анализа Раздел I. Введение в математический анализ

Тема 1. Понятие функции

1. Понятие функции одной переменной. Область определения и область значений.

2. График функции. Построение графика по точкам. Возрастание и убывание функции, периодические функции.

3. Способы задания функции: аналитический (явный, неявный); табличный; графический. Вычисление значений функции для различных способов задания.

4. Понятие обратной функции.

5. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Литература:

[1, гл. I, §§ 1-6, упр. 1-6; § 7, упр. 8-10, 12, 14, 16, 18, 29, 34, 39, 40; § 8,

упр. 7; § 9], [2, гл. VI, §§ 2,3], [3, §§ 1.4-1.11, 3.1], [6, гл. 5, с. 140-152].

Тема 2. Понятие предела

6. Предел функции в точке. Примеры.

7. Основные правила нахождения пределов: предел суммы, предел произведения и частного переменных величин, имеющих пределы.

8. Понятие неопределенности. Раскрытие неопределенности типа или .

9. Признаки существования пределов: теорема о пределе промежуточной функции; теорема о пределе монотонной функции.

10. Первый замечательный предел (с выводом).

11. Второй замечательный предел и число e (с выводом).

12. Следствия из первого и второго замечательных пределов.

13. Односторонние пределы функции в точке. Связь с обычным пределом. Приметы.

Литература. [1, гл. II, §§ 1-5, упр. 1, 4, 6, 8-14, 18, 19; § 6, упр. 31-33, 35, 37-40; §§ 7,8, упр. 41-44, 46, 48, 49], [2, гл. VI, §§ 4,5], [6, гл. 5, с. 152-170].

Тема 3. Непрерывность функции

14. Определение непрерывности функции в точке и на интервале.

15. Определение непрерывности функции на языке односторонних пределов. Точки разрыва функции и их классификация. Примеры.

16. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции.

17. Элементарные функции, их непрерывность. Применение непрерывности элементарных функций при вычислении пределов.

18. Свойства непрерывных на отрезке функций.

Литература: [1, гл. II, § 9, упр. 2, 3, 6, 21-23, 25-30, 45, 47, 57, 59; § 10, 11, упр. 60-62], [2, гл. VI, § 6], [4, гл. V, § 19], [6, гл. 5, с. 170-176].

Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и его применение

Тема 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

19. Определение производной функции в точке. Ее геометрический и физический смысл.

20. Правила дифференцирования: производная суммы и разности функций; произведения функций; частного функций; производная константы, произведения функции на число; правило нахождения производной сложной функции.

21. Таблица производных основных элементарных функций.

22. Вторая производная и ее механический смысл. Производные высших порядков для функции одной переменной.

23. Дифференциал функции одной переменной в точке и его связь с приращением функции (два основных свойства дифференциала). Формула вычисления дифференциала функции через ее производную и дифференциал аргумента. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

24. Формула Лагранжа (формула конечных приращений).

25. Формула Коши. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей или .

26. Формула Тейлора. Представление элементарных функций по формуле Тейлора в окрестности нуля.

Литература: [1, гл. III, упр. 1, 3, 4, 7, 10, 15, 16, 20-22, 40, 45, 71, 50-80, 116, 120, 137, 222-227], [2, гл. VII, §1], [4, гл. V, §§ 20, 23, 24, 26].