1. Темы и варианты к курсовой работе. Многочлены и их корни.

Варианты заданий.

1 Для дифференциального уравнения

в плоскости его коэффициентов А и В найти область, соответствующую степени устойчивости = -3, выделив на ней подобласти с различным характером поведения решения y(t) при изменении аргумента t (рис.3а).

2 Для дифференциального уравнения, указанного в варианте 1, в пространстве его коэффициентов А и В найти область, расположенную слева от мнимой оси комплексной плоскости корней характеристического уравнения внутри угла 45, выделив на ней подобласти с различным характером поведения решения y(t) при изменении аргумента t (рис.3б).

Указание. Границы угла 45 могут быть описаны выражением s = -j.

3 Для дифференциального уравнения, указанного в варианте 1, в пространстве его коэффициентов А и В найти область, расположенную слева от мнимой оси комплексной плоскости корней характеристического уравнения внутри угла 45и обладающую степенью устойчивости =-3, выделив на ней подобласти с различным характером поведения решения y(t) (рис.3в).

4 Для дифференциального уравнения

в плоскости его коэффициентов А и В найти область, соответствующую устойчивому решению y(t), выделив в ней подобласти с различным характером поведения решения при изменении аргумента t. Указание: всего 6 подобластей.

5 Для дифференциального уравнения

в плоскости его коэффициентов А и В найти область, соответствующую устойчивому решению y(t), выделив в ней подобласти с различным характером поведения решения при изменении аргумента t.

6 Для дифференциального уравнения

в плоскости его коэффициентов А и В найти область, соответствующую степени устойчивости = -0,3; выделив на ней подобласти с различным характером поведения решения y(t) при изменении аргумента t (рис.4а).

7 Для дифференциального уравнения, указанного в варианте 1, в пространстве его коэффициентов А и В найти область, расположенную слева от мнимой оси комплексной плоскости корней характеристического уравнения внутри угла 45, выделив на ней подобласти с различным характером поведения решения y(t) при изменении аргумента t (рис.4б).

Указание. Границы угла 45 могут быть описаны выражением s = -j.

8 Для дифференциального уравнения, указанного в варианте 1, в пространстве его коэффициентов А и В найти область, расположенную слева от мнимой оси комплексной плоскости корней характеристического уравнения внутри угла 45и обладающую степенью устойчивости =-0,3; выделив на ней подобласти с различным характером поведения решения y(t) (рис.4в).

9 Для дифференциального уравнения

в плоскости его коэффициентов А и В найти область, соответствующую устойчивому решению y(t), выделив в ней подобласти с различным характером поведения решения при изменении аргумента t. Указание: всего 6 подобластей.

10 Для дифференциального уравнения

в плоскости его коэффициентов А и В найти область, соответствующую устойчивому решению y(t), выделив в ней подобласти с различным характером поведения решения при изменении аргумента t.

11 Для системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка

,

с корнями характеристического полинома s_1,2 = -j, найти аналитические выражения для y(t,k,,); периода колебаний Т(); максимального значения y(t), достигаемого в момент времени t=T/2; времени регулирования t_p (временем регулирования называется момент времени t_p, после которого выполняется условие

).

12 Для дифференциального уравнения

,

с корнями характеристического уравнения, представленными на рис.1.1, 1.2, 1.3, в плоскости В0А (см. рис.3) построить линии равных значений наибольшей вещественной части  (линии равной степени устойчивости).

Указание. Для случая рис.1.1 и 1.2 ₁=const; для случая рис.1.3 ₂=const; ₁,₂=(0;1).

13 Для дифференциального уравнения

,

с корнями характеристического уравнения, представленными на рис.1.1, 1.2, 1.3, в плоскости В0А (см. рис.3) построить линии равных значений для наименьших вещественных частей .

Указание. Для случая рис.1.1 ₃=const; для случая рис.1.2 ₂=const; для случая рис.1.3 ₁=const; =(0;).

14 Для дифференциального уравнения

,

с корнями характеристического уравнения, представленными на рис.1.1, 1.2, 1.3, в плоскости В0А (см. рис.3) построить линии равного уровня для отношения =/=const (линии равной колебательности).

Указание. Рассмотреть случаи рис.1.2 и 1.3; =(0;).

15 Для дифференциального уравнения

,

найти параметры А, В и корни s_1,2 = -j, обеспечивающие значение y(T/2)=1,05k (см. вариант задания 6).

16 Для дифференциального уравнения

найти А, В и С, а также значения корней s₁,s₂,s₃, обеспечивающие получение решения y(t) с наименьшим временем регулирования t_p (см. вариант задания 6).

17 Для объекта управления, заданного системой дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши

,

где В – матрица размером 33 с произвольными элементами; N – матрица размером 31 с произвольными элементами; х – вектор переменных состояния х=[x₁ х₂ х₃]^Т, построить модальный регулятор R=[r₁ r₂ r₃], задавшись желаемым расположением корней характеристического полинома s₁ = -1,5; s_2,3 = -1j2,5.

Указание. Для расчёта регулятора использовать соотношение

|sE-B+NR|=s³+a₂s²+a₁s+a₀,

в правую часть которого подставляется полином с желаемым расположением корней; Е – единичная матрица.

18 Для объекта управления, заданного системой дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши

,

где В – матрица размером 44 с произвольными элементами; N – матрица размером 41 с произвольными элементами; х – вектор переменных состояния х=[x₁ х₂ х₃ х₄]^Т, построить модальный регулятор R=[r₁ r₂ r₃ r₄], задавшись желаемым расположением корней характеристического полинома s_1,2 = -1,6j0,9; s_3,4 = -1j2,6.

19 Для объекта управления, заданного системой дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши

,

где В – матрица размером 33 с произвольными элементами; N – матрица размером 32 с произвольными элементами; х – вектор переменных состояния х=[x₁ х₂ х₃]^Т, построить модальный регулятор

,

задавшись желаемым расположением корней характеристического полинома s₁ = -1,5; s_2,3 = -1j2,5 (модальное управление при наличии части переменных состояния).

20 Для объекта управления, заданного системой дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши ,

где В – матрица размером 33 с произвольными элементами; N – матрица размером 31 с произвольными элементами; х – вектор переменных состояния х=[x₁ х₂ х₃]^Т, построить модальный регулятор R=[r₁ r₂ 0], задавшись желаемым расположением двух корней характеристического полинома s_2,3 = -1j2,5 (неполное модальное управление).

21 Нахождение корней многочленов высших степеней.

22 Решение задач векторной алгебры.

23 Оценка значения определителя произвольного порядка.

24 Интерполяция функций (многочлены Чебышева, сплайны).

25 Численное решение систем алгебраических уравнений.

Рекомендуется изучить литературу [1],[2],[3],[8],[9],[10].

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Варианты заданий.

1 Определить размеры x,y,z каркаса заданной конструкции (рис.5а), обеспечивающие максимальное значение его объема, если длина рейки, отпущенной на его изготовление, равна 30 метрам. Провести анализ полученного решения.

2 Определить диаметр и высоту цилиндрического бака с крышкой объемом 8м³, обеспечивающие минимальный расход материала на его изготовление. Провести анализ полученного решения.

3 Составить план выпуска изделий, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Провести анализ решения.

Исходные данные представлены в таблице 2.

Таблица 2

Вид сырья	Количество сырья, идущего на единицу изделия		Запас сырья
	Плита	Перемычка
Песок	7	5	70
Щебень	9	4	80
Цемент	2	2	30
Прибыль от единицы изделия	30	19

4 Имеются два предприятия и две базы, снабжающие предприятия сырьем. Потребности предприятий в сырье равны p₁ и p₂. Запасы сырья на базах b₁ и b₂, причем b₁+ b₂ > p₁+ p₂. Стоимость перевозки единицы сырья с i-й базы на j-е предприятие составляет с_ij (рис.5б).

Найти план снабжения предприятий сырьем с минимальными затратами на перевозку. Провести анализ полученного решения.

Ч исловыми данными задачи задаться самостоятельно.

5 Предприятие производит два вида изделий. Для каждого изделия требуется два вида сырья в известном количестве а_ij,i=1,2; j=1,2. Запасы сырья равны S₁ и S₂. Прибыль от каждого изделия p₁ и p₂. Задан обязательный заказ на каждое изделие z₁ и z₂.

Найти план выпуска изделий, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации при условии выполнения обязательного заказа. Провести анализ полученного решения.

6 Определить размеры x,y,z каркаса заданной конструкции (рис.5а), обеспечивающие максимальное значение его объема, если длина рейки, отпущенной на его изготовление, равна 30 метрам. Провести анализ полученного решения.

7 Определить диаметр и высоту цилиндрического бака с крышкой объемом 8м³, обеспечивающие минимальный расход материала на его изготовление. Провести анализ полученного решения.

8 Составить план выпуска изделий, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Провести анализ решения.

Исходные данные представлены в таблице 3.

Таблица 3

Вид сырья	Количество сырья, идущего на единицу изделия		Запас сырья
	Плита	Перемычка
Песок	7	5	70
Щебень	9	4	80
Цемент	2	2	30
Прибыль от единицы изделия	30	19

9 Имеются два предприятия и две базы, снабжающие предприятия сырьем. Потребности предприятий в сырье равны p₁ и p₂. Запасы сырья на базах b₁ и b₂, причем b₁+ b₂ > p₁+ p₂. Стоимость перевозки единицы сырья с i-й базы на j-е предприятие составляет с_ij (рис.5б).

Найти план снабжения предприятий сырьем с минимальными затратами на перевозку. Провести анализ полученного решения.

Числовыми данными задачи задаться самостоятельно.

10 Предприятие производит два вида изделий. Для каждого изделия требуется два вида сырья в известном количестве а_ij,i=1,2; j=1,2. Запасы сырья равны S₁ и S₂. Прибыль от каждого изделия p₁ и p₂. Задан обязательный заказ на каждое изделие z₁ и z₂.

Найти план выпуска изделий, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации при условии выполнения обязательного заказа. Провести анализ полученного решения.

Числовыми данными задаться самостоятельно.

11 Четыре станка обрабатывают два вида деталей: А и В. Каждая деталь проходит обработку на всех четырех станках. Известны: время обработки детали на каждом станке, время работы станков в течение одного цикла производства и прибыль, получаемая от выпуска одной детали каждого вида. Эти данные приведены в таблице 4:

Таблица 4

Станки	Время обработки одной детали,ч.		Время работы станка за один
	А	В		цикл производства, ч.
I	1	2		16
II	2	3		25
III	1	1		10
IV	3	1		24
Прибыль на одну деталь, усл.ден.ед.	4	1		-

Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль. Провести анализ полученного решения.

12 Для изготовления 3-х видов изделий A, B, C используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования указанны в таблице 5. В ней же указан общий фонд рабочего времени, а так же прибыль от реализации одного изделия каждого вида:

Таблица 5

Тип оборудования	Затраты времени (станко-ч.) на обработку 1-го вида изделия			Общий фонд рабочего
	A	B	C	времени (ч).
Фрезерное Токарное Сварочное Шлифовальное	2 1 7 4	4 8 4 6	5 6 5 7	120 280 240 360
Прибыль	10	14	12

Требуется определить сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Провести анализ полученного решения.

13 Продукцией городского молочного завода является молоко, кефир и сметана, расфасованные в бутылки. На производство 1т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе 1т молока и кефира составляют 0.18 и 0.19 машино-часов. На расфасовке 1т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3.25 ч. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136 000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21.4 машино-часов, а автоматы по расфасовке сметаны в течение 16.25 ч. Прибыль от реализации 1т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 усл. ден. ед. Завод должен ежедневно производить не менее 100т молока, расфасованного в бутылки. На производство другой продукции не имеется никаких ограничений.

Требуется определить, какую продукцию и в каком количестве следует ежедневно изготовлять заводу, чтобы прибыль от ее реализации была максимальной. Провести анализ полученного решения.

14 Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А,В,C используют три вида основного сырья: сахарный песок, патоку, фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство 1тонны карамели в таблице 6. В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1тонны карамели данного вида:

Таблица 6

Вид сырья	Нормы расхода сырья (т) на 1 т карамели			Общее количество сырья (т)
	А	В	С
Сахарный песок	0,8	0,5	0,6	800
Патока	0,8	0,4	0,3	600
Фруктовое пюре	-	0,1	0,1	120
Прибыль от реализации 1т продукции (усл.ден.ед.)	108	112	126

Найти план производства карамели, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации. Провести анализ полученного решения.

15. Н а мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трёх видов в количествах, соответственно равных 24, 31 и 18 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице 7. В ней же указана величина отходов, которые получены при данном способе раскроя одного листа фанеры:

Таблица 7

Вид заготовки	Количество заготовок при раскрое по способу
	I	II
1	2	6
2	5	4
3	2	3
Величина отходов (см2)	12	16

Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы было получено не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах. Провести анализ полученного решения.

16 На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице 8. В ней же указано общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.

Таблица 8

Вид корма	Количество единиц корма, которое ежедневно должны получать		Общее количество корма
	лисица	песец
I	2	3	180
II	4	1	240
III	6	7	426
Прибыль от реализации одной шкурки (усл. ден.ед.)	16	12

Определить сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкур была максимальной. Провести анализ полученного решения.

17 Для перевозок груза на трех линиях могут быть использованы суда трех типов. Производительность судов при использовании их на различных линиях характеризуется данными, приведенными в таблице 9. В ней же указаны общее время, в течение которого суда каждого типа находятся в эксплуатации, и минимально необходимые объемы перевозок на каждой из линий:

Таблица 9

Тип судна	Производительность судов (млн. тонно-миль в сутки) на линии			Общее время эксплуатации
	1	2	3	судов (сут.).
I	8	14	11	300
II	6	15	13	300
III	12	12	4	300
Заданный объем перевозок (млн. тонно-миль)	3000	5400	3300	-

Определите, какие суда, на какой линии и в течение какого времени следует использовать, чтобы обеспечить максимальную загрузку судов с учетом возможного времени их эксплуатации. Провести анализ полученного решения.

18 Для обогрева помещений используют четыре агрегата, каждый из которых может работать на любом из пяти сортов топлива, имеющемся в количествах 90,110,70,80 и 150 т. Потребность в топливе каждого из агрегатов соответственно равна 80,120,140 и 160 т. Теплотворная способность i-го сорта топлива при использовании его на j-м агрегате задается матрицей

(с_ij) =

Найти такое распределение топлива между агрегатами, при котором получается максимальное количество теплоты от использования всего топлива. Провести анализ полученного решения.

19 Изготовляемый на пяти кирпичных заводах кирпич поступает на шесть строящихся объектов. Ежедневное производство кирпича и потребность в нём указаны в таблице. В ней же указана цена перевозки 1000 шт. кирпича с каждого из заводов к каждому из объектов.

Таблица 10

Кирпичный	Цена перевозки 1 тысячи штук кирпича к строящемуся объекту						Производ- ство кирпича
завод	1	2	3	4	5	6		(тыс.шт.)
1	8	7	5	10	12	8		240
2	13	8	10	7	6	13		360
3	12	4	11	9	10	11		180
4	14	6	12	13	7	14		120
5	9	12	14	15	8	13		150
Потребность в кирпиче (тыс.шт)	230	220	130	170	190	110

Составить план перевозок, согласно которому обеспечиваются потребности в кирпиче на каждом из строящихся объектов при минимальной общей стоимости перевозок. Провести анализ полученного решения.

20 При производстве 4 видов кабеля выполняются 5 групп технологических операций. Нормы затрат на 1 км кабеля данного вида на каждый из групп операций, прибыль от реализации 1 км каждого вида кабеля , а также общий фонд рабочего времени, в течение которого могут выполняться эти операции. Данные представлены в таблице11.

Таблица 11

Технологические операции	Нормы затрат времени (ч) на обработку 1км кабеля вида				Общий фонд раб.времени(ч)
Волочение	1,2	1,8	1,6	2,4	7200
Наложение изоляции	1,0	0,4	0,8	0,7	5600
Скручивание элементов в кабель	6,4	5,6	6,0	8,0	11176
Освинцование	3,0		1,8	2,4	3600
Испыт. и контроль	2,1	1,5	0,8	3,0	4200
Прибыль от реализации 1 км кабеля (в усл. ден. ед.)	1,2	0,8	1,0	1,3

Определить такой план выпуска кабеля, при котором общая прибыль от реализации изготовляемой продукции являлась максимальной. Провести анализ полученного решения.

21 Метод наименьших квадратов.

22 Наибольшее и наименьшее значение функции в

заданной области.

23 Скалярные и векторные поля.

24 Формула Тейлора для функции двух переменных и

ее применение.

25 Кривизна поверхностей.

Рекомендуется изучить литературу [1], [10].