Лабораторная работа № 13 Численное решениеуравнений математической физики

Рассмотрим смешанную задачу для однородного уравнения колебания струны. Задача состоит в отыскании функции u(х,t), удовлетворяющей при t>0 уравнению

(13.1)

начальным условиям

(13.2)

и краевым условиям

(13.3)

Так как замена переменных приводит уравнение (13.1) к виду то в дальнейшем будем считать с=1.

Для построения разностной схемы решения задачи (13.1)-(13.3) построим в области сетку x_t = ih, i = 0, 1, ..., m, и аппроксимируем уравнение (13.1) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа «крест» (рис. 3).

Рис.3.

Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (13.1):

(4)

Здесь u_ij—приближенное значение функции и(х, t) в узле

(x_i,t_j). Полагая получаем трехслойную разностную схему

(13.5)

Для простоты в данной лабораторной работе заданы нулевые граничные условия, т.,е. Значит, в схеме (13.5) для всех j. Схема (13.5) называется трехслойной потому, что связывает между собой значения u_ij функции u(x,t) на трех временных слоях с номерами j-1, j, j+1. Схема (13.5) явная, т.е. позволяет в явном виде выразить и_ц через значения и с предыдущих двух слоев.

Численное решение задачи состоит в. вычислении приближенных значений и_ц решения u(x,t) в узлах (x_i,t_j) при i=1, ..., n, j=1,...,m. Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое(j = 2, 3, 4, ..., n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев (j=0, 1, ..., n—1) по формуле (13.5). На нулевом временном слое (j= 0) решение известно из начального условия u_i0 =f(x_i). Для вычисления решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной работе принят простейший способ, состоящий в том, что если положить

(13.6)

то i=1,2,..., n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно применять формулу (13.5). Решение на каждом следующем слое получается пересчетом решений с двух предыдущих слоев по формуле (13.5).

Описанная выше схема аппроксимирует задачу (13.1)- (13.3) с точностью . Невысокий порядок аппроксимации по объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по t в формуле (13.6).

Схема устойчива, если выполнено условие Куранта . Это означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении

условий Куранта схема обладает равномерной сходимостью, т. е. при h 0 решение разностной задачи равномер­но стремится к решению исходной смешанной задачи (13.1) - (13.3).

Недостаток схемы в том, что как только выбрана величина шага сетки h в направлении х, появляется ограничение на величину шага по переменной t. Если необходимо произвести вычисления для большого значения величины Т, то может потребоваться большое количество шагов по переменной t. Указанный недостаток характерен для всех явных разностных схем. Для оценки погрешности решения обычно прибегают к методам сгущения сетки.

Задание.

Содержание отчета

Отчет должен содержать исходные данные, постановку задачи, сведения о методе решения, текст программы, полученные результаты и график.

Библиографический список

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1. - М.: Наука, 1985.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. - М.: Наука, 1985.

3. Семенов М.П., Катрахова А.А., Жучкова В.В. Основы численных методов. - Воронеж: ВГТУ, 1997.

5. Дежин В.В., Катрахова А.А., Купцов B.C. Методические указания к выполнению лабораторных работ но курсу «Высшая математика» на языках программирования высокого уровня для студентов специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах». Ч. 1. - Воронеж: ВГТУ, 2004.

6. Дежин В.В., Катрахова А.А., Купцов B.C. Методические указания к выполнению лабораторных работ но курсу «Высшая математика» на языках программирования высокого уровня для студентов специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах». Ч. 2. - Воронеж: ВГТУ, 2005.

7. Амосов А.А., Дубинский Ю.А.., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высш. шк.. 1994

8. Турчак JI.И. Основы численных методов. - М.: Наука, 1987.

9. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычисли юльной математике. М.: Высш. шк., 1990. 208 с.

10. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике. М.: Высш. шк., 1994. 416 с.