Контрольные вопросы

1. Запишите простейшие формулы для вычисления про­изводных первого и второго порядка.

2. Дайте геометрическую интерпретацию формул для производной первого порядка.

3. Каков порядок точности этих формул?

4. Как получить эти формулы из формулы Тейлора?

5. Как вычисляются производные, если функция задана на сетке?

6. Как в этом случае определяется порядок точности?

7. Почему приближенное дифференцирование является некорректной операцией?

Содержание отчета

Отчет должен содержать исходные данные, постановку задачи, сведения о методе решения, текст программы и полученные результаты.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10

ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ

Задание. Для сигнала f (x), заданного на отрезке [-l, l] найти коэффициенты а₀, а₁,…, а_k и b₁,…, b_к разложения в ряд Фурье; вычислить значения частичных сумм S₁,…,S_k на отрезке [-l, l] с шагом h = l/20; построить графики f (х) и частичных сумм S₁ ..., S_k на отрезке [-l, l].

Вари	f (x)	l	k	Вари	f (x)	l	k
анты				анты
1	e2x	1	4	13	е3х+1	1	π
2	e-x	2	5	14	sin(x/3)	π	1
3	2х + 1	1/2	6	15	4 - 2х	2	8
4	х - 3	4	5	16	cos(x/3)	π	6
5	x	3	8	17	2е-2х+1	1	5
6	ex	1	4	18	х2 - 2х + 3	π /2	6
7	e-2x	2	5	19	х2 + 2х	π /2	7
8	cos(x/2)	π	7	20	2х - 2	2	6
9	sin(x/2)	π	6	21	е-4х	1	5
10	х2+1	2	6	22	е5x-1	1	4
11	х2 -х	1	7	23	3х - 1	π /2	6
12	2х -1	π	5	24	1 - x	π	8

Краткие теоретические сведения.

Гармоническим анализом называют разложение функции

f(х). заданной на отрезке [0, 2π], в ряд по функциям вида

sin nx и cos nx, где п - целое число. Этот ряд называется

рядом Фурье и записывается следующим образом:

(10.1)

Коэффициенты ряда Фурье находятся по формулам:

Достаточные условия представимости функции f(x) рядом Фурье дает следующая теорема.

Теорема. Если периодическая функция f(x) с периодом Т = 2π кусочно гладка на отрезке [0, 2π], то ряд Фурье (10.1) сходится к значению f(x)в каждой точке непрерывности и к значению в точках разрыва.

Функция f(x)называется кусочно гладкой на отрезке [a, b], если сама функция и ее производная f(x) имеют на [a, b] конечное число точек разрыва первого рода.

Таким образом, гармонический анализ состоит в вычислении коэффициентов ряда Фурье. Для приближенного вычисления этих коэффициентов можно использовать любые квадратурные формулы.

Пусть f(x)- периодическая с периодом T=2l функция, удовлетворяющая условиям теоремы на отрезке [-l,l]. Тогда ее разложение в ряд Фурье имеет следующий вид

где

Частичные суммы S_k - это несколько первых слагаемых ряда Фурье, т.е.

Ряд Фурье четной функции f(x) содержит только свободный член и косинусы

,

где

Нечетная функция разлагается в ряд Фурье по синусам

,

где