Контрольные вопросы

1. Как вычисляются конечные разности?

2. Как располагают таблицу конечных разностей?

3.Как связаны производные гладких функций и их конечные разности?

4. Как вычисляются разделенные разности?

5. Как располагают таблицу разделенных разностей?

6. Какова связь между производными гладких функций и их разделенными разностями?

7. Каким равенством связаны разделенная и конечная разности в случае постоянного шага?

8. Объясните аналогию между формулой Ньютона (8.4) и формулой Тейлора.

9. Как зависит степень интерполяционного многочлена Ньютона от числа узлов?

10. В чем состоят преимущества интерполяционного многочлена Ньютона перед формулой Лагранжа?

11. Какую величину можно использовать для практической оценки погрешности интерполяции многочленом Ньютона?

12. Как получить формулу (8.7), какие величины она содержит?

13. Как получить формулу (8.8), какие величины она содержит?

14. В каких случаях используются интерполяционные многочлены Ньютона (8.7) и (8.8)?

Содержание отчета

Отчет должен содержать исходные данные, постановку задачи, сведения о методе решения, текст программы и полученные результаты.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Задание. С помощью интерполяционных формул Ньютона вычислите значения первой и второй производных при значении аргумента х из лабораторной работы № 8. Значения х₁ и у, возьмите из таблицы исходных данных к лабораторной работе № 5. Затем вычислите производные в точке х + 1, если х ближе к началу отрезка, или х-1, если х ближе к концу отрезка, и сделайте выводы.

Краткое описание метода

Численное дифференцирование применяется тогда, когда функцию трудно или невозможно продифференцировать аналитически. Например, необходимость в численном дифференцировании возникает в том случае, когда функция задана таблицей. Кроме того, формулы численного дифференцирования широко используются при разработке вычислительных методов решения многих задач (решение дифференциальных уравнений, поиск решений нелинейных уравнений, поиск точек экстремума функций и др.). Предположим, что в окрестности точки х функция f дифференцируема достаточное число раз. Исходя из определения производной

попытаться использовать для ее вычисления две простейшие приближенные формулы:

,

соответствующие выбору фиксированных значений и . Здесь h > 0 - малый параметр (шаг). Разностные отношения в правых частях формул (9.1) и (9.2) называют правой и левой разностными производными.

Для оценки погрешностей введенных формул используют формулы Тейлора. Откуда получают, что левая и правая разностные производные аппроксимируют производную с первым порядком точности по h .

Приведенные формулы численного дифференцирования имеют простую геометрическую интерпретацию (рис. 2, а). Пусть N₀, N_-,N₊ - расположенные на графике функции

точки с координатами ,и . Напомним, что производная равна тангенсу угла α наклона к оси Ох касательной, проведенной к графику функции в точке N₀ .

Формула (9.1) соответствует приближенной замене производной правой разностной производной

, равной тангенсу угла α₊ наклона к графику к

функции секущей, проведенной через точки N₀ и N₊.

Рис.2.

Формула (9.2) соответствует аналогичной замене левой

разностной производной равной тангенсу угла α_- секущей, проходящей через точки N₀ и N_-.

Естественно предположить (рис. 3,а и 3,6), что лучшим по сравнению с tgα₊ и tgα_- приближением к

является тангенс угла наклона α₀ секущей к графику, проведенной через точки N_- и N₊.Соответствующая приближенная формула имеет вид

Величину в правой части этой формулы называют центральной разностной производной. Подставляя в выражение для погрешности соответствующие разложения по формуле Тейлора, получим, что центральная разностная производная аппроксимирует производную со вторым порядком точности относительно h.

Для вычисления можно получить формулы любого порядка точности. Однако в таких формулах с ростом порядка точности возрастает и число используемых значений функции.

Наиболее простой и широко применяемой для приближенного вычисления второй производной является следующая формула:

Величину в правой части этого приближенного равенства называют второй разностной производной. Используя разложения по формуле Тейлора, можно получить, что формула для второй разностной производной имеет второй порядок точности.

Хотя простейшие формулы численного дифференцирования можно получить сравнительно элементарно, для вывода и анализа таких формул в более сложных случаях необходимо использовать значительно более серьезный математический аппарат. Заметим, что основой' для построения различных приближенных формул вычисления производных являются методы теории приближения функций.

Предположим, что в окрестности точки x функция f аппроксимируется некоторой другой функцией g. Производная в точке x легко вычисляется. Естественно в такой ситуации попытаться воспользоваться приближенной формулой

Наиболее просто этот подход реализуется в случае, когда приближение осуществляется с помощью интерполяции.

Пусть Р_п (х) - интерполяционный многочлен степени п

с узлами интерполяции х₀ < x₁ <х₂ <...<х_п и х⋴[х₀, х_п]. В этом случае формула (9.3) принимает вид

Замечание 1. Порядок точности формулы (9.4) относительно h_тах равен между числом узлов интерполяции и порядком вычисляемой производной.

Замечание 2. Если формула (9.4) применяется для вычисления производной в точке, относительно которой узлы таблицы расположены симметрично, и число п-k четно, то порядок точности формулы повышается на единицу по сравнению с порядком n+1-k, гарантируемым оценкой

Здесь C_n,k – положительные числа,

Наиболее простой вид принимают формулы численного дифференцирования при использовании таблиц y_i=f(x_i) c

постоянным шагом.

В данной лабораторной работе значения производных получают дифференцированием интерполяционных многочленов Ньютона (8.7) и (8.8). Для вычисления производных в точках x, близких к начальной точке x₀, получаем

Для вычисления производных в точках x, близких к конечной точке x_n, получаем

Несмотря на внешнюю простоту формул численного дифференцирования, их применение требует особой осторожности. Отметим, что используемые при численном дифференцирования значения функции f(x) непременно содержат ошибки. Поэтому к погрешности аппроксимации формул численного дифференцирования добавляется неустранимая погрешность, вызванная погрешностями вычисления функции f. Для того чтобы погрешность аппроксимации была достаточно малой, требуется использование таблиц с малыми шагами h. Однако при малых шагах формулы численного

дифференцирования становятся плохо обусловленными и результат их применения может быть полностью искажен неустранимой ошибкой. Важно понимать, что действительная причина этого явления лежит не в совершенстве предложенных методов вычисления производных, а в некорректности самой операции дифференцирования приближенно заданной функции.

Указание. При составлении программы ограничиться в формулах тремя слагаемыми. Это будет соответствовать третьему порядку точности по h .

Алгоритм программы

Задание константы х; определение переменных; начало исполняемой части программы задание значений элементов массива у ;

в цикле по i от 1 до 9 d1y[i]=у[i+1]-у[i];

в цикле по i от 1 до 8 d2y[i]= d1y[i+1]-d1y[i];

в цикле по i от 1 до 7 d3y[i]= d2y[i+1]-d2y[i];

в цикле по i от 1 до 6 d4y[i] = d3y[i +1] - d3y[i];

{х ближе к началу отрезка}

t = х-1;

f 1 = dy[1] + (2t - 1)d2y[1]/2 + (3t² – 6t + 2)d3y[1]/6;

f 2 =d2y[1]+(t -1)d3y[1]+(6t²-m+11)d4y[1]/l2;

{ x ближе к концу отрезка }

q = x-10;

f1 = d1y[9] +(2q + l)d2y[8]/2+(3q² +6q + 2)d3y[7]/6 ;

f 2 = d2y[8] + (q +1)d3y[7] + (6q²+18q+ 11)d4y[6]/12 ; вывод на экран значений х, f1 и f2 конец программы.

Замечание. В программе учтено, что h =1.