Контрольные вопросы

1. В чем состоит метод левых прямоугольников?

2. В чем состоит метод центральных прямоугольников?

3. В чем состоит метод трапеции?

4. В чем состоит метод Симпсона?

5. Какой из рассмотренных методов точнее и почему?

Содержание отчета

Отчет должен содержать постановку задачи, расчетные формулы, текст программы и результаты расчетов, выведенные на экран.

Лабораторная работа № 4 решение системы линейных уравнений методом гаусса с выбором главного элемента

Задание. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с точностью до 0,001, а также найти определитель матрицы этой системы.

Краткое описание метода

Методом Гаусса называют точный метод решения невырожденной системы () линейных алгебраических уравнений, состоящий в том, что последовательным исключением неизвестных систему

………(4.1)

приводят к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой, находят по рекуррентным формулам

Существует много вариантов этого метода. Рассмотрим схему с выбором главного элемента. Предположим, что в исходной системе (4.1) , и разделим обе части первого уравнения системы на В результате получим

где С помощью уравнения (4.3) исключим во всех уравнениях системы (4.1), начиная со второго, слагаемые, содержащие . Для этого умножаем обе части уравнения (4.3) последовательно на и вычитаем соответственно из второго, третьего, …, п-го уравнения системы (4.1). В результате получаем систему, порядок которой на единицу меньше порядка исходной системы:

, где

В результате n-кратного повторения этого преобразования получим систему (4.2) с треугольной матрицей, которая эквивалентна системе (4.1) и легко решается следующим образом. Из последнего уравнения находим , подставляя в предпоследнее уравнение, найдем , затем и т.д. до . находим из первого уравнения системы. Таким образом, вычисления по методу Гаусса распадаются на два этапа: на первом этапе, называемом прямым ходом метода Гаусса, исходную систему преобразуют к треугольному виду. На втором этапе, который называют обратным ходом, решают треугольную систему (4.2), эквивалентную исходной. Коэффициенты называют ведущими элементами метода Гаусса. На каждом шаге предполагалось, что . Если окажется, что это не так, то в качестве ведущего элемента можно использовать любой другой ненулевой коэффициент системы. Однако, если коэффициент мал, то после деления на этот элемент и вычитания k-го уравнения из последующих возникают большие погрешности округления. Чтобы избежать этого, на каждом этапе уравнения переставляют так, чтобы на главной диагонали оказался наибольший по модулю элемент k-го столбца. Если матрица системы хорошо обусловлена, то в методе Гаусса с выбором главного элемента погрешности округления невелики. Одновременно с решением системы можно найти определитель матрицы системы. Нетрудно убедиться, что определитель матрицы системы равен произведению ведущих элементов, т.е. При этом необходимо учесть изменение знака определителя при перестановке строк.