7. Темы, выносимые на самостоятельное изучение
ТЕМА №1
Дифференцирование сложной
и неявной функции нескольких
переменных
Литература: [1], [17].
Основные понятия
Предположим,
что
-дифференцируемая
функция двух переменных
и
в некоторой области D
плоскости хОу, а аргументы
и
являются дифференцируемыми функциями
некоторой переменной t,
т.е.
,
.
Тогда
-функция
одной переменной t
и имеет место равенство
(1)
Если
t
совпадает с одним из аргументов, например,
, тогда справедлива формула
(2)
и
называется полной производной функции
z
по x.
Если
аргументы
и
функции
являются функциями двух переменных,
скажем,
,
,
то
также является функцией двух переменных
и имеют место формулы:
и
(3)
Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных.
Дифференциал
сложной функции
,
где
,
,
можно получить, если в формуле дифференциала
заменить
и
.
В
результате подстановке и перегруппировке
членов при
и
получим формулу
,
показывающую, что форма первого
дифференциала не зависит от того,
являются ли
и
независимым переменными или функциями
других независимых переменных. Это
свойство называется инвариантностью
формы первого дифференциала.
Пусть
-
неявная функция, т.е. она определяется
из уравнения
, неразрешённого относительно у. это
значит, что при каждом значении
,
при котором неявная функция определена,
она принимает единственное значение
так, что
.
Теорема
1. Если
-
дифференцируемая функция переменных
и
в некоторой области D,
содержащей точку
и в этой точке
,
то уравнение
определяет однозначную неявную функцию
,
также дифференцируемую, и её производная
находится по формуле
.
(4)
Функция
называется неявной функцией переменных
и
,
если она определяется уравнением
,
неразрешённым относительно z.
Теорема
2. Если функция
дифференцируема по переменным
в некоторой пространственной области
G
, содержащей точку
и в этой точке
,
то уравнение
определяет однозначную неявную функцию
,
также дифференцируемую, и её производные
находятся по формулам:
(5)
Контрольные вопросы и задания
1. Докажите свойство инвариантности формы первого дифференциала.
2.
Сформулируйте условия существования
однозначной функции
,
неявно заданной уравнением
.
3. сформулируйте условия существования неявной функции двух переменных , определяемой уравнением .
4. запишите формулы для вычисления производной неявной функции одной и двух переменных.
5.
получите формулу для нахождения
,
если
,
где
,
,
.
Примеры решения задач
Пример
1. Найти
.
Если
,
,
.
Решение. Воспользуемся формулой (1); предварительно найдём:
,
,
,
.
Получим
.
Пример
2. Найти
и
,
если
,
,
.
Решение.
Найдём:
,
,
,
,
,
.
Подставим полученные выражения в формулу (3), получим:
,
Ответ можно оставить в такой форме или выразить через u и v. В результате получим:
,
.
Пример 3.
Уравнения с двумя переменными
имеет
решение
.
Определяет ли это уравнение неявную
функцию
в окрестности точки
и если да, то найти
и
.
Решение. Обозначим
.
Имеем
,
,
,
,
.
Условие
обеспечивает существование неявной
функции
,
дифференцируемой в некоторой окрестности
точки
.
По формуле (4) получим:
,
.
Пример
4. Найти
,
и
для неявной функции
,
определённой уравнением
.
Решение. Обозначим
.
Найдём частные производные:
,
,
.
Воспользуемся формулами (5), получим:
,
,
.
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
[9], №№3124, 3126, 3129, 3131, 3127, 3128, 3149, 3151, 3163, 3164, 3167.
Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.
ТЕМА №2
Численные методы решения
задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы
Эйлера и Рунге-КутТа
Литература: [13], [19].
Основные понятия
Задано дифференциальное уравнение первого порядка
(6)
С начальным условием
(7)
Задача
нахождения при
решения
дифференциального уравнения (6),
удовлетворяющему начальному условию
(7), называется задачей Коши. Чаще
ограничиваются определением решения
на конечном отрезке [a,b].
Численное
решение задачи состоит в построении
таблицы приближённых значений
решения уравнения в точках
.
Чаще всего
,
где n-число
разбиений,
-
шаг.
В
методе Эйлера величины
вычисляются по формуле
.
(8)
Этот
метод относится к группе одношаговых
методов, в которых для расчёта точки
требуется информация только о последней
вычисленной точке
.
Геометрическая интерпретация одного
шага методом Эйлера заключается в
аппроксимации решения на отрезке
касательной
,
проведённой в точке
к интегральной кривой, проходящей через
эту точку. А так как
и
,
то
.
Таким образом, после выполнения N
шагов неизвестная интегральная кривая
заменяется ломаной линией (ломаной
Эйлера), для которой угловой коэффициент
очередного i-го
звена
.
Для оценки погрешности метода на одном
шаге точное решение раскладывается в
ряд Тейлора в окрестности узла
.
Сравнение этого разложения с формулой
(8) показывает, что они согласуются до
членов первого порядка по h.
Поэтому метод Эйлера-метод первого
порядка точности.
В
модифицированном методе Эйлера (методе
Эйлера-Коши или методе Ньютона) вычисления
разбивают на два этапа. На первом этапе
(этапе прогноза) в соответствии с методом
Эйлера вычисляют грубое приближение
,
где
.
В точке
определяют угловой коэффициент
.
На втором этапе (этапе коррекции)
вычисляют усреднённое значение углового
коэффициента
.
Уточненное значение находят по формуле
.
В результате получается расчетная формула
(9)
Этот метод имеет второй порядок точности.