2.Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции.

ПОТОК ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ТЕОРЕМА ГАУССА.

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. Напряженность электростатического поля

,

где - сила, действующая на точечный положительный заряд , помещенный в данную точку поля.

2. Напряженность электростатического поля точечного заряда q на расстоянии r от заряда

,

где ε₀ – электрическая постоянная, ε – относительная диэлектрическая постоянная.

3. Напряженность электростатического поля равномерно заряженного по поверхности шара радиуса R на расстоянии r от центра шара

Е = 0 при r < R

при r > R,

где q – заряд шара.

4. Напряженность электростатического поля объемно заряженного шара радиуса R на расстоянии r от центра шара

при r < R

при r > R,

где q – заряд шара.

5. Напряженность электростатического поля бесконечно длинной равномерно заряженной нити на расстоянии r от нее

,

где τ – линейная плотность заряда.

6. Напряженность электростатического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости

,

7. Принцип суперпозиции электростатических полей

8. Поток вектора напряженности через произвольную поверхность S

,

где - вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью к площадке; - проекция вектора на нормаль к площадке dS (E_ndS=EdScosα, где угол α – это угол между нормалью к поверхности и направлением ).

9. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

= ,

где - алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности S, ρ- объемная плотность зарядов.

Пример решения задач

Точечный заряд Q=25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R=1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью = 2 мкКл/м². Определить силу, действующую на заряд, помещенный от оси цилиндра на расстоянии r=10 см.

Решение. Сила, действующая на заряд, находящийся в поле F=EQ,

Где Е- напряженность поля в точке, в которой находится заряд.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра

E=/(2₀r),

где - линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность через поверхностную плотность. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд двумя способами:

q₁=S=2Rl и q₁=l

Приравняв правые части этих равенств, получим

 =2R

С учетом этого E=R/(₀r)

Подставив это выражение в первую формулу, получим:

F=QR/(₀r)

F=565 10^-6Н

I

1. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами 40 нКл и -40 нКл, находящимися на расстоянии 10 см друг от друга. Определить напряженность в точке удаленной от первого заряда на расстоянии 5 см.

2. Определить напряженность поля точечного заряда 10 нКл в воздухе на расстоянии 10 см от него.

3. Определить напряженность поля точечного заряда 10 нКл в киросине (=2) на расстоянии 10 см от него.

4. Вычислить электрический момент диполя, если его заряд 10 нКл, плечо 0,5 см.

5. В трех вершинах квадрата со стороной 5 см находятся одинаковые положительные заряды по 2 нКл. Определить напряженность поля в третьей вершине. 10⁴ В/м

6. Два точечных заряда 4нКл и –2 нКл находятся друг от друга на расстоянии 60 см. Определите напряженность Е поля в точке, лежащей посередине между зарядами. 0,6кВ/м

7. Как направлена напряженность в точке, расположенной в центре квадрата, в вершинах которого находятся четыре положительных заряда?

8. На металлической сфере радиусом 15 см находится заряд 2 нКл. Определите напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии 10 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии 20 см от центра сферы.

1) 0; 2) 800 В/м; 3) 450 В/м.

9. Электростатическое поле создано двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными одноименными зарядами с одинаковой поверхностной плотностью 1 нКл/м². Определите напряженность электростатического поля между плоскостями и за пределами плоскостей. 100 В/м.

10. Какой должна быть напряженность электрического поля в вакууме, чтобы, на находящийся в нем электрон действовала электрическая сила 20 10^-19 Н?

11. На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью 0,1 нКл/см² расположена круглая пластинка. Плоскость пластинки составляет с линиями напряженности угол 30⁰. Определите поток вектора напряженности через эту пластинку, если её радиус равен 15 см 3,5 кВ/м

12. С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на единичный положительный заряд 1 нКл, если поверхностная плотность заряда на плоскости 20мкКл/м. 3,4 Н/м

13. Прямоугольная плоская площадка площадью 6 см² находится на расстоянии 1 м от точечного заряда величиной 1 Кл. Площадка ориентирована так, что линии напряженности составляют угол 60^о с нормалью к поверхности. Найти поток вектора напряженности через площадку. 2,7 В·м

14. Рассчитать с помощью теоремы Остроградского-Гаусса напряженность электрического поля внутри заряженной сферы и за её пределами.

II

1. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами 40 нКл и -10 нКл, находящимися на расстоянии 10 см друг от друга. Определить напряженность в точке удаленной от первого заряда на расстоянии 12 см и от второго – на 6 см.

34 кВ\м

2. В вершинах квадрата со стороной 5 см находятся одинаковые положительные заряды 2 нКл. Определить напряженность поля в середине одной из сторон квадрата.

10,3 кВ/м

3. Расстояние d между двумя положительными точечными зарядами Q₁ = 9Q и Q₂ = Q равно 8 см. На каком расстоянии от первого заряда находится точка, в которой напряженность поля зарядов равна нулю? 6 см

4. Полый стеклянный шар несет равномерно распределенный по объему заряд. Его объемная плотность 100 нКл/м³. Внутренний радиус шара равен 5 см, наружный – 10 см. Вычислить напряженность электрического поля в точках, отстоящих от центра сферы на расстоянии а) 3см; б) 6 см;

в) 12 см 0;13,6 В/м; 229 В/м

5. Длинный парафиновый цилиндр радиусом 2 см несет равномерно распределенный по объему заряд с объемной плотностью 10 нКл/м³. Определить напряженность электрического поля в точках, находящихся от оси цилиндра на расстоянии а)1 см; б) 2см. 2,83 В/м; 7,55 В/м

6. Какой должна быть напряженность электрического поля в вакууме, чтобы, находящийся в нем электрон получил ускорение 2·10¹² м/с². 11,4 В/м

7. Две длинные одноименно заряженные нити расположены на расстоянии 10 см друг от друга. Линейная плотность заряда на нитях 10 мкКл/м. Найти модуль и направление напряженности результирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см от каждой нити. 3,12 МВ/м

8. С какой силой на единицу длины отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно длинные нити с одинаковой линейной плотностью заряда, равной 3 мкКл/м, находящиеся на расстоянии 2 см друг от друга.

8,1 Н/м

9. С какой силой на единицу площади отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости? Поверхностная плотность заряда на плоскостях 0,3 мКл/м².

5,1 кН/м²

10. Определите напряженность поля, создаваемого диполем с электрическим моментом 1 нКл·м на расстоянии 25 см от центра диполя в направлении, перпендикулярном оси диполя. (l² << r²). 576 В/м

11. С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на единицу длины заряженной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле. Линейная плотность заряда на нити 3 мкКл/м, поверхностная плотность заряда на плоскости 20 мкКл/м. 3,4 Н/м

12. Прямоугольная плоская площадка со сторонами, длины которых равны 3 и 2 см соответственно, находится на расстоянии 1 м от точечного заряда величиной 1 Кл. Площадка ориентирована так, что линии напряженности составляют угол 30^о с ее поверхностью Найти поток вектора напряженности через площадку. 2,7 В·м

13. Плоская квадратная пластинка со стороной, равной 10 см, находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной ( = 1 мкКл/м²) плоскости. Плоскость пластины составляет угол 30^о с линиями поля. Найти поток вектора напряженности через эту пластину. 282 В·м

14. Рассчитать с помощью теоремы Остроградского-Гаусса напряженность электрического поля внутри заряженного шара.

15. Рассчитать с помощью теоремы Остроградского-Гаусса напряженность электрического поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью.

III

1. Два одинаковых положительных точечных заряда находятся на расстоянии 10 см друг от друга. Найдите на прямой, являющейся осью симметрии этих зарядов, точку, в которой напряженность электрического поля имеет максимум.

3,5 см

2. Тонкий стержень длиной l=12 см заряжен с линейной плотностью =200 нКл/м. Найти напряженность Е электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r=5 см от стержня против его середины. 55,7 кВ/м

3. Тонкий стержень длиной l=10 см заряжен с линейной плотностью =400 нКл/м. Найти напряженность Е электрического поля в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню, проведенном через один из его концов, на расстоянии r=8 см от этого конца. 35,6 кВ/м

4. Две длинные тонкостенные коаксиальные трубки радиусами R₁=2 см и R₂=4 см несут заряды, равномерно распределенные по длине с линейными плотностями ₁=l нКл/м и ₂= –0,5 нКл/м. Пространство между трубками заполнено эбонитом. Определить напряженность Е поля в точках, находящихся на расстояниях r₁=1 см, r₂=3 см, r₃=5 см от оси трубок. Построить график зависимости Е от r.0;200В/м;180 В/м

5. Тонкий стержень длиной d = 10 см равномерно заряжен зарядом -3∙10^-9 Кл. Найти напряженность поля в точке, лежащей на оси стержня. Расстояние от этой точки до середины стержня a = 20 см. Определить, при каком наименьшем значении a/d напряженность можно рассчитывать по формуле поля точечного заряда, если относительная погрешность не превышает 5%? 720 В/м, a/d  2,2

6. Тонкое кольцо радиусом R=5 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью =14 нКл/м. Какова напряженность Е электрического поля в точке, удаленной от центра кольца на расстояние а = 10 см? 2,83 кВ/м

7. Длинный парафиновый цилиндр радиусом R=2 см несет заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотностью  =2 мкКл/м³. Определить напряженность E электрического поля в точках, находящихся от оси цилиндра на расстоянии: 1) r₁= 1 см; 2) r₂= 3 см. Обе точки равноудалены от концов цилиндра. Построить график зависимости E (r). 1100 В/м, 1500 В/м

8. Эбонитовый сплошной шар радиусом R=5 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью p=10 нКл/м³. Определить напряженность Е электрического поля в точках: 1) на расстоянии r₁=3 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии r₂=10 см от центра сферы. Построить график зависимости Е(r).

3,78 В/м; 6,28 В/м; 4,72 В/м