4. Динамика вращательного движения твердого тела

4.1. Основные формулы

1. Момент инерции:

а) материальной точки: ;

б) системы материальных точек: ;

в) твердого тела: .

2. Теорема Штейнера

,

где I – момент инерции тела относительно произвольной оси; I₀ - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно заданной оси; d – расстояние между осями; m – масса тела.

3. Момент силы

а) относительно точки: ;

б) относительно оси:

4. Момент импульса

а) материальной точки относительно точки: ;

б) твердого тела относительно оси

5. Уравнение моментов

.

6. Основное уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z:

,

где M_z – алгебраическая сумма моментов всех внешних сил относительно оси z; I_z – момент инерции тела; - модуль углового ускорения.

7. Закон сохранения момента импульса системы тел относительно оси

.

8. Кинетическая энергия твердого тела:

а) вращающегося вокруг неподвижной оси: ;

б) при плоском движении: , где - скорость движения центра масс.

9. Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси:

а) в общем случае: ;

б) в случае постоянного момента силы: ,

где - угол поворота тела.

10. Аналогия между формулами динамики поступательного и вращательного движения.

Поступательное движение	Вращательное движение
– масса	- момент инерции
- импульс	- момент импульса
- сила	- момент силы

4.2. Типы задач и методы их решения Классификация

1. Вычисление моментов инерции тел правильной геометрической формы.

Метод решения.

Непосредственно интегрирование выражения для момента инерции тела .

2. Вращательное и поступательное движение тел и простейших систем.

Метод решения.

Применение основного уравнения динамики для вращательного и поступательного движения.

Применение закона сохранения энергии.

3. Упругий и неупругий удар в твердое тело, закрепленное на оси.

Метод решения. Применение законов сохранения энергии и момента импульса взаимодействующих тел.

4. Определение работы при вращательном движении.

Метод решения. Прямое интегрирование выражения , либо использование соотношения

.

Примеры

I тип задач

1. Найти момент инерции однородного круглого цилиндра массой m и радиусом R относительно его оси.

Решение

Рассмотрим тонкостенный цилиндр радиусом r, толщиной dr и высотой h (рис. 4.1). Его объем

Рис. 4.1

.

Момент инерции тонкостенного цилиндра

,

где - плотность цилиндра.

Момент инерции всего цилиндра определится интегралом

Ввиду однородности цилиндра

С учетом этого, получим окончательно

.

2. Найти момент инерции однородного шара радиусом R и массой m относительно оси, касательной к поверхности шара.

Решение

Согласно теореме Штейнера момент инерции шара относительно оси, касательной к его поверхности,

,

где , .

После подстановки получим

.