2.2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга Теоретический материал

Соотношение неопределенностей:

а) для координаты и импульса частицы

,

где р_х - неопределенность проекции импульса частицы на ось х; х - неопределённость её координаты;

б) для энергии и времени:

,

где - неопределённость энергии данного квантового состояния; - время пребывания системы в этом состоянии.

Примеры решения задач

Задача 1. Используя соотношение неопределённостей , найти вы­ражение, позволяющее оценить минимальную энергию Е электрона, находящегося в одномерном потенциальной ящике шириной .

Решение

Из данного соотношения следует, что, чем точнее определяется положение частицы, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Неопределенность координаты электрона х = . Тогда соотношение неопределенностей можно записать в виде , откуда .

Неопределенность импульса не должна превышать значения самого импульса р, то есть .

Энергия Е электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике, есть его кинетическая энергия Т, величину которой можно связать с импульсом соотношением:

E = .

Заменив p значением р (такая замена не увеличит энергии части­цы Е), получим: .

Задача 2. Среднее время жизни возбужденных состояний атома составляет 12 нс. Вычислить минимальную неопределенность длины волны мкм излучения, при переходе атома в основное состояние.

Решение.

Энергия излучаемого фотона

.

Продифференцируем Е по :

, или .

Из соотношения неопределенностей Гейзенберга для энергии и времени выразим : , здесь и - неопределенности времени и энергии.

Приравняем выражения для

,

Откуда

;

Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий

1. Исходя из того, что радиус атома водорода имеет значение порядка 0,1 нм, оцените скорость движения его электрона. [1 Мм/с]

2. Электрон с кинетической энергией Т=15эВ находится в металлической пылинке диаметром d=1мкм. Оценить относительную неточность / , с которой может быть определена скорость электрона. [ / = 10^-4 ]

3. Электрон локализован в области с линейным размером 1,0мкм. Среднее значение его кинетической энергии 4,0эВ. Оценить с помощью соотношения Гейзенберга неопределенность его кинетической энергии. [~10^-22Дж ]

4. Во сколько раз дебройлевская длина волны частицы меньше неопре­деленности её координаты, которая соответствует относительной неопределенности импульса в 1%? [в 16 раз]

5. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся части­цы равна дебройлевской длине волны, определить относительную неточ­ность р/р импульса этой частицы. [ р/р=0,16]

6. Оценить наименьшие погрешности, с которыми можно определить скорость электрона и протона, локализованных в области размером 1мкм. [ =200м/c; =0,1м/с]

7. Положение свободного электрона определено с точностью до 1мкм. Чему равна неопределенность в его скорости? [100 м/с]

8. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину одномерного потенциального ящика, в котором минимальная энергия электрона 10эВ. [0,12 нм]

9. Альфа-частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину ящика, сли известно, что минимальная энергия частицы 8МэВ. [610^-15м]

10. Приняв, что минимальная энергия Е нуклона в ядре равна 10МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры ядра. [ = = 2,910^-15 м.]

11. Воспользовавшись соотношением неопределенности, оценить кинетическую энергию нуклона в ядре. Линейные размеры ядра принять равными 5 фм. [3МэВ]

12. Используя соотношение неопределенностей, оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома 0,1 нм. [Е_min = = 15 эВ]

13. Частица массой m находится в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна . При каких значениях кинетической энергии Т относительная неопределённость будет меньше 0,01? [Т>(200 ]

14. Электрон с кинетической энергией Т =10 эВ локализован в области размером = 1,0 мкм. Оценить относительную неопределенность скорости электрона. [ =1,3 10^-4]

15. Можно считать, что электрон в атоме водорода заключен в сферической области вокруг ядра радиусом r =0,05нм. С помощью соотношения неопределенностей оцените кинетическую энергию электрона. [150 эВ]

16. Свободно движущаяся нерелятивистская частица имеет относительную неопределенность кинетической энергии порядка 1,6·10^-4. Оцените, во сколько раз неопределенность координаты такой частицы больше ее дебройлевской длины волны. [210³]

17. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны которого равна 400 нм. Оценить ширину излучаемой спектральной линии. [8,510^-15 м]

18. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны которого равна 600 нм. Оценить относительную ширину излучаемой спектральной линии. [310^-8]

19. Используя соотношение неопределённостей, оценить ширину энергетического уровня в атоме водорода, находящегося: а) в основном состоянии; б) в возбужденном состоянии. Время жизни атома в возбужденном состоянии равно 10^-8 с.[а) 0; б) 0,1 мкэВ]

20. Чему равна предельная резкость спектральной линии с длиной волны  =500 нм допускаемая принципом неопределённостей, если считать, что средняя продолжительность возбуждённого состояния атомов t=10^-8c. [ 2,6  10^-8]

21. Атом испустил фотон с длиной волны  =600 нм за время ~10^-8с. Определить относительную неопределенность его длины волны .[310^-8]