Примеры решения задач

Задача 1. Железный шар диаметром d = 0,1 м, нагретый до температуры T₁ = 1500К, остывает на открытом воздухе. Через какое время его температура понизится до Т₂ = 1000К? При расчете принять, что шар излучает как серое тело с коэффициентом излучения a=0,5. Теплопроводностью воздуха пренебречь.

Решение

Количество теплоты, теряемое шаром при понижении температуры на малую величину dT, равно

, (1)

где с - удельная теплоемкость железа; m - масса шара.

Учитывая, что

, (2)

где r - радиус шара; ρ - плотность железа, получаем

. (3)

С другой стороны, энергию, излучаемую шаром, можно найти, используя закон Стефана-Больцмана:

, (4)

где dt - время излучения, соответствующее понижению температуры на dT.

В соответствии с законом сохранения энергии

. (5)

Подставляя выражения (3) и (4) в (5) получаем дифференциальное уравнение

dt = .

Проинтегрировав это выражение, найдем

t = = 500 с.

Задача 2. Вследствие изменения температуры черного тела максимум спектральной плотности энергетической светимости сместился с длины волны λ₁ = 2,4 мкм на λ₂ = 0,8 мкм. Как и во сколько раз изменилась энергетическая светимость тела и максимальная спектральная плотность энергетической светимости?

Решение

Зная длины волн, на которые приходятся максимумы лучеиспускательной способности тела, и, используя закон смешения Вина, находим начальную и конечную температуры

T₁ = b /λ₁ и Т₂ = b /λ₂.

Энергетическая светимость черного тела определяется согласно закону Стефана- Больцмана

R^* = σ Т⁴ ,

следовательно,

= 81.

Максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости определяется по второму закону Вина

( )_mах = СТ⁵.

Тогда

= 243.

Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий

1. Черное тело нагрето до температуры Т=1000К. На какой длине волны мощность излучения максимальна? [2,9 мкм]

2. Шарик радиусом R=1см нагрет до температуры Т=1000К. Считая излучение шарика черным, определить полную мощность, излучаемую этим шариком в пространство. [71,2Вт]

3. Какова температура печи, если известно, что из смотрового окошка площадью S=6см² излучается за 1с энергия W=34Дж. [Т= 1000 К]

4. Электрическая лампочка мощностью 100Вт имеет вольфрамовую нить диаметром 0,42мм и длиной 32см. Эффективная поглощательная способность вольфрамовой нити равна 0,22. Найти температуру нити. [2090К]

5. Температура вольфрамовой нити в электрической лампочке равна примерно 3200К. Считая, что нить излучает как абсолютно черное тело, определить мощность излучения лампочки. Диаметр вольфрамовой нити 0,08мм, ее длина 5 см.[74,8Вт]

6. В излучении абсолютно черного тела максимум энергии приходится на длину волны 680нм. Сколько энергии излучает 1см² этого тела и какова потеря его массы за 1с вследствие излучения? [1880 Дж; 2,1·10^-14 кг]

7. Абсолютно черное тело имеет температуру Т₁=2900К. В результате остывания тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на 9мкм. До какой температуры Т₂ охладилось тело? [Т₂ = 290 К]

8. Вольфрамовая нить накаливается в вакууме током в 1А до температуры 1000К. Какой нужно пропустить через нить ток, чтобы ее температура стала 3000К? Потерями энергии вследствие теплопроводности и изменением линейных размеров нити пренебречь. [9А]

9. Мощность излучения абсолютно черного тела Р=100кВт. Чему равна площадь излучающей поверхности тела, если длина волны, на которую приходится максимум излучения, равна 700 нм? [60см²]

10. Муфельная печь потребляет мощность Р=0,5кВт. Температура ее внутренней поверхности при открытом отверстии диаметром d=5см равна 700°С. Какая часть потребляемой мощности рассеивается стенками? [0,8]

11. Муфельная печь потребляет мощность Р=1кВт. Температура ее внутренней поверхности при открытом отверстии площадью S=25 см² равна 1200 К. Считая, что отверстие печи излучает как абсолютно черное тело, определите, какая часть мощности рассеивается стенками. [0,7]

12. Волосок лампы накаливания, рассчитанной на напряжение U=2В, имеет длину =10см и диаметр d = 0,03мм. Полагая, что волосок излучает как абсолютно черное тело, определить температуру нити и длину волны, на которую приходится максимум в спектре излучения. Удельное сопротивление материала волоска . Потерями вследствие теплопроводности пренебречь.[1000К, 2,9 мкм]

13. Определить силу тока I, протекающего по вольфрамовой проволоке диаметром d=0,8мм, температура которой поддерживается равной 3070К. Поверхность проволоки считать серой с коэффициентом поглощения a=0,343, удельное сопротивление вольфрама . Обратным излучением окружающих тел пренебречь. [9А]

14. Определить относительное увеличение энергетической светимости черного тела при увеличении его температуры на l%. [4%]

15. Волосок лампы накаливания, рассчитанной на напряжение 2В, имеет длину 10см и диаметр 0,03мм. Полагая, что волосок излучает, как абсолютно черное тело, определите температуру нити и длину волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения. Вследствие теплопроводности лампа рассеивает 8% потребляемой мощности, удельное сопротивление материала волоска 5,5 10^-8 Ом·м. [Т = 2400 К; λ_max =1,22 мкм]

16. Диаметр вольфрамовой спирали в электрической лампочке d = 0,3мм, длина спирали 5см. При включении лампочки в сеть напряжением U=127В через лампочку течет ток 0,31А. Найти температуру спирали. Считать, что при установлении равновесия все выделяющееся в нити тепло теряется в результате излучения. Отношение энергетических светимостей вольфрама и абсолютно черного тела для данной температуры a = 0,31. [Т = 2500 К]

17. Какую мощность надо подводить к зачерненному металлическому шарику радиусом 2 см, чтобы поддерживать его температуру на 27К выше температуры окружающей среды? Температура окружающей среды Т = 293К. Считать, что тепло теряется только вследствие излучения. [Р = 0,89Вт]

19. В электрической лампе вольфрамовый волосок диаметром d=0,05мм накаливается при работе лампы до T₁=2700К. Через сколько времени после выключения тока температура волоска упадет до T₂=600К? При расчете принять, что волосок излучает, как серое тело, с коэффициентом поглощения 0,3. Пренебречь всеми другими причинами потери теплоты. Плотность вольфрама 19,3г/см³, его теплоемкость равна 0,134Дж/г °С. [0,033 с ]

20. Металлический шарик диаметром d поместили в откачанный сосуд с абсолютно черными стенками, поддерживаемыми при температуре Т=0К. Начальная температура шарика Т₀. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти температуру, которую будет иметь шарик спустя время t. Плотность вещества шарика , удельная теплоемкость с. [ ]

21. Тело массой m=10г и поверхностью S=200см², имеющее температуру Т₀ =600К, помещено в вакуум. Определить до какой температуры Т охладится тело за время t=30c, если поглощательная способность поверхности тела a=0,4, а удельная теплоемкость с=350Дж/кгК.