1.4. Эффект Комптона Теоретический материал

Эффект Комптона является результатом упругого столкновения рентгеновского фотона со свободным электроном. Изменение длины волны Δλ фотона при рассеянии его на угол определяется выражением

Δλ = λ^׳ - λ = λ_к (1- cos ),

где =2,43пм - комптоновская длина волна, - масса покоя электрона.

При рассеянии выполняются законы сохранения энергии и импульса

,

,

где и - соответственно энергия налетающего и рассеянного фотона, и - энергия покоя и полная энергия электрона, и - импульс налетающего и рассеянного фотона соответственно, -импульс электрона отдачи.

Примеры решения задач

Задача 1. Фотон испытал рассеяние на покоившемся свободном электроне. Найти импульс налетавшего фотона, если энергия рассеянного фотона равна кинетической энергии электрона отдачи при угле φ= /2 между направлениями их разлета.

Решение

Кинетическая энергия Т электрона отдачи на основании закона сохранения энергии равна разности между энергией ε падающего фотона и энергией ε' рассеянного фотона

Т = - .

По условию задачи Т = , значит, = 2 , или

hс/λ = 2hс/λ^׳ ,

откуда λ / λ' = 0,5, а с учетом формулы p = h/λ , p^׳/p = 0,5.

В

оспользуемся законом сохранения импульса, в соответствии с которым

.

Построим векторную диаграмму. Угол φ = 90° между направлениями разлета рассеянного фотона и электрона отдачи складывается из углов и α (рис.1.1), т.е. φ = + α. Но α=arcsin (p'/p)=30°, и, следовательно,

= φ – α =60° .

Учитывая, что на основании формулы Комптона λ=0,5λ_к, получаем

p=h/0,5λ_к=2m₀с=1,02МэВ/с .

З

адача 2. Определить импульс электрона отдачи при эффекте Комптона, если фотон с энергией, равной энергии покоя электрона, был рассеян под углом = 180°.

Решение

Используя формулы для энергии и импульса фотона, определяем длину волны и импульс падающего фотона. Так как по условию

= hc/λ =m₀с² ,

то

λ = h / m₀с, а p = h / λ = m₀с.

В соответствии с формулой Комптона для данного случая

λ^{׳ –} λ = λ_к (1 – cos 180⁰) = 2λ_к,

откуда длина волны рассеянного фотона равна

λ^׳ = 2λ_к + λ = 2h /(m₀ с) + h / (m₀ с) = 3h / (m₀ с).

Величина его импульса

p' = h / λ^׳ = m₀с/3.

Для нахождения импульса электрона отдачи построим векторную диаграмму импульсов (рис.1.2). По закону сохранения импульса или

.

Из полученного уравнения найдем

m = 3,64∙10^-22 кг∙м/с.

Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий

1. Рентгеновские лучи с длиной волны = 0,2Å испытывают комптоновское рассеяние под углом 90°. Найти: 1) изменение длины волны рентгеновских лучей при рассеянии; 2) энергию электрона отдачи. [0,024 Å, 6,7 кэВ]

2. При комптоновском рассеянии энергия падающего фотона распределяется поровну между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Угол рассеяния равен /2. Найти энергию и импульс рассеянного фотона. [0,258 МэВ, кг м/с]

3. Рентгеновские лучи с длиной волны = 0,708 Å испытывают комптоновское рассеяние на парафине. Найти длину волны рентгеновских лучей, рассеянных в направлениях: 1) /2; 2) . [0,732 Å, 0,756 Å]

4. Рентгеновское излучение длиной волны =55,8пм рассеивается плиткой графита. Определить частоту света, рассеянного под углом =60° к направлению падающего пучка света. [5,26 Гц]

5. Энергия падающего фотона равна энергии покоя электрона. Определить энергию рассеянного фотона, если угол рассеяния равен 1) 60°; 2) 90°; 3) 180°.[743МэВ, 0,258МэВ, 171МэВ]

6. Фотон с энергией =0,25МэВ рассеялся на свободном электроне. Энергия рассеянного фотона равна 0,2 МэВ. Определить угол рассеяния. [60⁰]

7. Угол рассеяния фотона равен 90°. Угол отдачи электрона равен 30°. Определить энергию падающего фотона. [0,37МэВ]

8. Длина волны света, падающего на вещество со свободными электронами, =0,003 нм. Какую энергию приобретут электроны отдачи при рассеянии кванта под углом =60°? [0,117 МэВ]

9. Поток жестких рентгеновских лучей (λ =24пм) при соударении со свободным электроном передал ему 9% своей энергии. Определить длину волны рассеянного рентгеновского излучения. [26,4 пм]

10. Изменение длины волны рентгеновских лучей при комптоновском рассеянии равно 2,4пм. Вычислить угол рассеяния и величину энергии, переданной при этом электрону отдачи, если длина волны рентгеновских лучей до взаимодействия 10 пм. [24,3 эВ]

11. Какая доля энергии фотона приходится при эффекте Комптона на электрон отдачи, если рассеяние фотона происходит на угол 180°? Энергия фотона до рассеяния равна 0,255МэВ. [0,5]

12. Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на рассеивающее вещество. При этом длины волн излучения, рассеянного под углами, равными 60⁰ и 120⁰, отличаются друг от друга в n=2 раза. Считая, что рассеяние происходит на свободных электронах, найти длину волны падающего излучения. [1,2 пм]

13. Фотон с длиной волны, равной 6,0пм, рассеялся под прямым углом на покоившемся свободном электроне. Найти частоту рассеянного фотона и кинетическую энергию электрона отдачи. [v=3,55∙10²⁰ с^-1; Т=60кэВ]

14. Фотон с энергией 0.46МэВ рассеялся под углом 120° на покоившемся свободном электроне. Определить относительное изменение частоты фотона. [0,57]

15. Определить угол , под которым был рассеян гамма-квант с энергией =1,02МэВ при эффекте Комптона, если кинетическая энергия электрона отдачи Т=0,51МэВ. [60°]

16. Найти энергию налетающего фотона, если известно, что при рассеянии под углом 90° на покоившемся свободном электроне последний приобрел энергию 300 кэВ. [0,57 МэВ]

17. Фотон с энергией ₁, равной энергии покоя электрона, испытывает комптоновское рассеяние на свободном электроне. Определить: а) максимально возможное изменение длины волны фотона; б) максимальную энергию и импульс электрона отдачи; в) энергию и импульс электрона отдачи при условии, что фотон рассеивается под углом 90°. [а) 4.810^-6мкм; б) 0.34 МэВ, 3.63∙10^-22 кг м/с; в) 0.256 МэВ, 3∙10^-22 кг м/с]

18. Рентгеновский фотон с энергией ε_ф = 20 кэВ претерпевает комптоновское рассеяние на свободном электроне на угол  = 90º. Чему равна энергия электрона отдачи? [756 эВ]

19. Рентгеновское излучение с длиной волны λ=10пм рассеивается свободными электронами. Определите максимальную длину волны рентгеновского излучения в рассеянном пучке. [12,4 пм]