3.1.5. Расчетные формулы каскада в области средних частот

Заменив Е_г на и R_г на внутреннее сопротивление полевого транзистора в точке покоя R_iт.п, из эквивалентной схемы для средних частот (см. рис. 3.1.5 б) нетрудно найти коэффициент усиления напряжения резисторного каскада с полевым транзистором К, равный отношению выходного напряжения каскада к входному в области средних частот:

(3.1.8)

Для полевых транзисторов полученное выражение неудобно, так как //у них очень сильно зависит от положения рабочей точки и найти его трудно; заменив в (3.1.8) где — статическая крутизна

характеристики тока стока в точке покоя, получим:

(3.1.9)

где R_экв.в — сопротивление эквивалентного генератора на верхних частотах и, как показано выше, равное параллельному соединению а следовательно, параллельному соединению Так как в каскадах с полевыми транзисторами то в знаменателе формулы (3.1.5) можно пренебречь величиной по сравнению с R_{i т}.п и получить:

(3.1.10)

Этим выражением обычно и пользуются для расчета коэффициента усиления резисторных каскадов с полевыми транзисторами, так как определение статичес­кой крутизны характеристики S_т..п в точке покоя графически затруднений не представляет.

Коэффициент усиления промежуточных широкополосных каскадов с полевыми транзисторами рассчитывают по еще более простой формуле:

(3.1.11)

При расчете каскадов с биполярными транзисторами обычно пользуются не коэффициентом усиления напряжения, а коэффициентом усиления тока К_т, представляющим собой отношение тока сигнала в базе следующего каскада I_Бтсл к току сигнала I_Бт в цепи базы рассчитываемого каскада (см. рис. 3.1.1а):

(3.1.12)

где R_{вх.тр.сл} — входное сопротивление транзистора следующего каскаде, a R_~ — сопротивление нагрузки цепи коллектора рассчитываемого каскада для тока сигнала, равное согласно формуле (3.1.4) параллельному соединению R, R_{вх.тр.сл} и R_д.сл.

Е сли требуется определить коэффициент усиления напряжения резисторного каскада с биполярным транзистором, то достаточно поделить U_вых.т на U_вх.т=I_вх.тR_вх.тр или помножить К_т на отношение входных сопротивлений каскадов:

(3.1.13)

Из эквивалентной схемы для нижних частот, изображенной на рис. 3.1.5а, находят уравнение частотной характеристики резисторных каскадов для этих частот, представляющее собой зависимость относительного усиления Y от частоты сигнала, или обратную зависимость коэффициента частотных искажений M=1/Y от частоты:

(3.1.14)

(3.1.15)

Здесь f — частота, на которой определяют относительное усиление или коэффициент частотных искажений; R_экв.н и R₀ определены ранее для каскадов при анализе эквивалентной схемы на низших частотах.

Выражение (3.1.14) показывает, что относительное усиление Y резисторного каскада на низших частотах изменяется от 0 до 1 при изменении частоты сигнала от 0 до ∞.

Положив в (3.1.15) М=М_н, f = f_н и решив результат относительно С, получим формулу для расчета необходимой емкости конденсатора межкаскадной связи по допустимому коэффициенту частотных искажений М_н на низшей рабочей частоте f_н:

(3.1.16)

Уравнение частотной характеристики для области высших частот рабочего диапазона транзисторного и лампового резисторных каскадов, представляющее собой зависимость относительного усиления Y от частоты, а также обратную зависимость коэффициента частотных искажений М=1/Y от частоты, находят из эквивалентной схемы резисторного каскада для высших частот, изображенной на рис. 3.1.5в.

(3.1.17)

(3.1.18)

Сопротивление R_экв.в на основании сказанного ранее для лампового резисторного каскада представляет собой параллельное соединение :

(3.1.19)

а во второй формуле (3.1.19) относящейся к транзисторному резисторному каскаду, работающему на биполярный транзистор, для которого почти всегда R_r>>R:

(3.1.20)

Из-за влияния r_б.сл, входящего в эквивалентную схему рис. 2.4.3а, свойства и характеристики резисторных каскадов, работающих на входную цепь биполярного транзистора, сильно отличаются на очень высоких частотах от свойств и характеристик резисторных каскадов, работающих на вход полевого транзистора; на высоких частотах r_б.сл уменьшается и превращается в r_б, входящее в выражение (3.1.19).

Выражение (3.1.17) показывает, что относительное усиление резисторного каскада на верхних частотах изменяется от 1 до 0 при изменении частоты сигнала от 0 (средние частоты) до ∞

Р ешив выражение (3.1.18) относительно R_экв._в, получим формулу, позволяющую найти по заданной верхней рабочей частоте f_в и коэффициенту частотных искажений М_в на этой частоте:

(3.1.21)

По найденному значению R_экв._вmax, используя соотношения (3.1.4) и (3.1.19), для достаточно высокочастотного транзистора следующего каскада можно выбрать сопротивления резисторов схемы, обеспечивающие удовлетворение предъявленных к каскаду требований.

Вид фазовой характеристики резисторного каскада, изображенной на рис. 3.1.4 б, нетрудно пояснить по эквивалентным схемам рис. 3.1.5. Так, из эквивалентной схемы рис. 3.1.5 а видно, что на нижних частотах сопротивление цепи, подключенной к генератору сигнала, имеет емкостную и активную составляющие, а поэтому ток сигнала I в цепи опережает ЭДС эквивалентного генератора на угол φ, стремящийся к 90° при безграничном понижении частоты. Выходное напряжение резисторного каскада U_вых , равное произведению этого тока на R₀, также будет опережать ЭДС, а следовательно, и находящееся с ней в фазе входное напряжение на тот же угол. На верхних частотах, как видно из рис. 3.1.5 в, ток в цепи также опережает ЭДС эквивалентного генератора на угол, меньший 90°, так как цепь имеет активную и емкостную составляющие сопротивления. Но выходное напряжение, представляющее собой падение напряжения сигнала на емкости С₀, отстает на 90° от тока сигнала через эту емкость, а следовательно, отстает от ЭДС эквивалентного генератора, находящегося в фазе с ЭДС. В результате в области верхних частот у резисторного каскада угол сдвига фазы φ между выходным и входным напряжениями при безграничном овышении частоты стремится к 90°. Фазовая характеристика как транзисторного каскада на биполярном транзисторе, так и транзисторного каскада на полевом транзисторе в области нижних и верхних частот(соответствующая эквивалентным схемам рис.(3.1.5)

(3.1.22)

(3.1.23)

Отрицательное значение угла сдвига фазы в последней формуле свидетельствует о том, что на верхних частотах выходное напряжение отстает от входного.

На рис. 3.1.6в показано, как искажается форма прямоугольного импульса, усиливаемого резисторным каскадом; рассмотрим физические основы возникновения этих искажений, называемых переходными.

При подаче мгновенного скачка напряжения на вход резисторного каскада емкости С и С₀ от воздействия этого скачка заряжаются. Процесс заряда малой емкости С₀ происходит быстро, и напряжение на ней, являющееся выходным напряжением каскада, достигает установившегося значения через очень малый промежуток времени (рис. 3.1.6а); заряд этой емкости, а следовательно, и нарастание выходного напряжения происходят по экспоненциальному закону. За это время разделительный конденсатор С, имеющий большую емкость, не успевает заметно зарядиться, и напряжение на нем в процессе заряда емкости С₀ можно считать равным нулю. Поэтому при рассмотрении процесса нарастания фронта выходного импульса в эквивалентной схеме каскада можно закоротить С, исключив тем самым его из схемы; при этом эквивалентная схема каскада превращается в эквивалентную схему для верхних частот.

Рис. 3.1.6. Переходные характеристики резисторного каскада: а — в области малых времен; б, — в области больших времен; в — искажения одиночного прямоугольного импульса

По мере заряда конденсатора С выходное напряжение резисторного каскада, равное разности напряжения скачка между точками М и Н (см. рис. 3.1.3 б) и напряжения на конденсаторе С, уменьшается, вследствие чего переходная характеристика каскада в области больших времен экспоненциально падает при увеличении времени (рис. 3.1.6 б). Так как заряд конденсатора С занимает много большее время, чем заряд емкости С₀, то при рассмотрении процесса заряда конденсатора С емкость С₀ можно считать уже заряженной и удалить ее из схемы; в этом случае схема превратится в эквивалентную схему для нижних частот. Отсюда следует, что переходная характеристика каскада в области малых времен, определяющая его время установления и обусловленная в резисторном каскаде процессом заряда емкости С₀, определяется эквивалентной схемой каскада для верхних частот, а переходная характеристика каскада в области больших времен, определяющая искажения вершины усиливаемых импульсов и обусловленная в резисторном каскаде процессом заряда разделительного конденсатора С, определяется эквивалентной схемой каскада для нижних частот.

Из того, что переходная характеристика резисторного каскада в области больших и малых времен определяется теми же эквивалентными схемами для нижних и верхних частот, что и частотная и фазовая характеристики, следует: частотная и фазовая характеристики каскада на верхних частотах определяют его переходную характеристику в области малых времен, а следовательно, его время установления и выброс; частотная и фазовая характеристики каскада на нижних частотах определяют его переходную характеристику в области больших времен, а следовательно, и искажения вершины импульсов; частотная и фазовая характеристики усилительного каскада жестко связаны с его переходными характеристиками. Эти правила справедливы для каскадов с любой схемой межкаскадной связи.

Из-за искажений, вносимых емкостью С₀ и конденсатором С, одиночный прямоугольный импульс, прошедший через резисторный каскад, приобретает вид, показанный на рис. 3.1.6в.

Переходная характеристика в области больших времен, определяемая процессом заряда конденсатора С через сопротивления и представляющая собой монотонно падающую по экспоненциальному закону кривую (рис. 3.1.6 б), стремится к нулю при неограниченном возрастании времени t и определяется уравнением:

(3.1.24)

(3.1.25)

представляет собой постоянную времени резисторного каскада на нижних частотах, а

(3.1.26)

является нормированным временем. Приравняв время t длительности импульса Т_и, найдем, что спад вершины прямоугольного импульса, вносимый резисторным каскадом

(3.1.27)

Положив А = А_Т и решив результат относительно С, получим формулу для расчета емкости конденсатора межкаскадной связи по допустимому спаду вершины Д_т прямоугольного импульса длительностью Т:

При Δ_Т <<1, что обычно имеет место на практике, ln1/(1- Δ_Т)~ Δ_Т и формула для расчета необходимой емкости конденсатора С упрощается:

(3.1.28)

Выражение (3.1.20) дает немного завышенное значение С, но это завышение даже при Δ_Т=0,1 составляет всего лишь около 5%, что допустимо. Решив (3.1.28) относительно Δ_Т, получим А_г=Т_И/т_н, откуда следует, что спад приближенно равен отношению длительности импульса к постоянной времени каскада на нижних частотах. Например, для получения спада 2% при длительности импульса 2 ,мс необходима постоянная времени каскада, в 50 раз превышающая длительность импульса и, следовательно, равная 0,1 с.

Переходная характеристика в области малых времен, определяемая процессом заряда паразитной емкости С₀ и представляющая собой кривую, изображенную на рис. 3.1.6 а, определяется уравнением

(3.1.29)

г де

(3.1.30)

есть постоянная времени резисторного каскада на верхних частотах, а

(3.1.31)

представляет собой нормированное время.

Как видно из уравнения (3.1.28), процесс установления фронта импульса на выходе резисторного каскада происходит монотонно, а следовательно, у резисторного каскада выброс фронта отсутствует.

Нормированное время установления резисторного каскада х_у нетрудно найти из уравнения (3.1.28), определив из него х₁, соответствующий значению y₁ = 0,1, и х₂, соответствующий y₂ = 0,9:

(3.1.32)

Получим формулу, позволяющую найти необходимое значение R_экв.вmax по заданному времени установления каскада:

(3.1.33)

Используя соотношения (3.1.4) и (3.1.19) для достаточно высокочастотного транзистора следующего каскада по известному R_экв.вmax, можно выбрать сопротивление резисторов схемы, обеспечивающее удовлетворение предъявленных к каскаду требований.

Положив в уравнении (3.1.16) частоту / равной верхней граничной частоте резисторного каскада , на которой относительное усиление 7_в.гр=0,707, и решив это уравнение, найдем соотношение между :

(3.1.34)

Зная верхнюю граничную частоту, по формулам (3.1.34) можно найти время установления (и наоборот); соотношения (3.1.34) приближенно справедливы для любых усилительных каскадов и даже для многокаскадных усилителей.