Студенческая олимпиада вгту, 2008
1.
Треугольник АВС, где
проектируется на некоторую плоскость
в отрезок длины
.
Записать уравнение этой плоскости,
зная, что она проходит через точку
.
(2
балла)
2.
Найти
и
,
если
(2 балла)
3.
При каких
уравнение
имеет решение? Найти число корней
уравнения в зависимости от значений
параметра
.
(3 балла)
4.Две
вершины квадрата лежат на оси
,
а две другие на дуге кривой
Найти отношение площадей квадрата и
криволинейной трапеции, ограниченной
линиями
(4 балла)
5.
Найти
,
если
.
(3 балла)
6.
Найти
из уравнения
(3
балла)
7.
Доказать, что интеграл
сходится абсолютно, хотя подынтегральная
функция неограниченна на любом промежутке
(3 балла)
8.
Вычислить сумму интегралов
(3 балла)
9.
Сколько решений в комплексных числах
имеет уравнение
?
(4 балла)
10.
Дана матрица
.
Вычислить
(4 балла)
11.Турист поднялся по тропе на вершину горы, провел на ней некоторое время и спустился вниз по той же тропе. На подъем и отдых на вершине у него ушло менее суток, а все путешествие длилось более суток. Имеется ли на тропе точка, которую турист проходил в одно и то же время суток?
(2 балла)
12.Какие
значения может принимать выражение
,
если
(3
балла)
Студенческая олимпиада вгту, 2009 год
1.
Какой наименьший угол могут образовывать
векторы
и
?
(1 балл)
2.
Основанием пирамиды SABCD
служит параллелограмм. Плоскость
отсекает от трех боковых ребер SA,SB,SC
соответственно
части (считая от вершины S).
Какую часть отсекает она от ребра SD?
(4 балла)
3.
Найти кратчайшее расстояние между
линиями
и
.
(2 балла)
4.
Точки P(3,5,7)
и Q(1,-1,-3)-
противоположные вершины ромба, третья
вершина лежит на прямой
.
Найти четвертую вершину и площадь ромба.
(2 балла)
5.
Найти наименьшее
,
при котором выполняется равенство
(3
балла)
6.
Найти
и
,
если
(2 балла)
7.
Вычислить интеграл
.
(2 балла)
8.
Найти точку пересечения прямой
и интегральной кривой дифференциального
уравнения
,
проходящей через точку (1,3) вместе со
своей первой производной.
(4 балла)
9.
Точка
движется по окружности
.
Какие значения может принимать модуль
?
(4 балла)
10. Вычислить криволинейный интеграл
,
где
-
верхняя полуокружность
,
обходимая против часовой стрелки.
(3 балла)
11.
Решить дифференциальное уравнение
(3 балла)
12.
Уравнение
,
имеет корень, модуль которого равен 2.
Найти значение a
и
все корни уравнения.
(4 балла)