Студенческая олимпиада вгту, 1999

1. Игроки А и В играют в теннис. Игрок А побеждает со счетом 6:3. В пяти играх победу одерживает тот игрок, который не подает. Подают по очереди. Чья была первая подача?

2.На ровной площадке стоят два столба, высотой 10 и 15 метров. Если вершину каждого столба соединить с основанием другого, то точка пересечения этих линий будет на высоте 6 метров. Чему равно расстояние между столбами?

3.В одной равнинной местности отгородили прямоугольный участок и пробурили в нем скважину. Нефть появилась в точке, находящейся глубоко под землей на расстоянии 2100футов от одной из вершин прямоугольника, на расстоянии 18000футов от противоположной вершины и 6000 футов от третьей. Найти расстояние от этой точки до четвертой вершины. Ответ: 17100 футов.

4.Пассажир постоянно приезжает на станцию в пять часов. Его жена постоянно встречает этот поезд, чтобы увести мужа на машине. Однажды пассажир приехал на станцию в четыре часа, не стал ждать машину и пошел домой пешком навстречу жене. Встретив ее по пути, пассажир сел в машину и приехал домой на десять минут раньше обычного. Сколько времени пассажир шел пешком, если жена ездит с постоянной скоростью, выезжая из дома в одно и то же время, чтобы успеть к пятичасовому поезду. Ответ: 55 минут.

5.Два парома отходят одновременно от противоположных берегов реки и пересекают ее перпендикулярно берегам. Скорости у паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются друг с другом на расстоянии 720 метров от ближайшего берега реки. Прежде, чем плыть обратно, оба парома 10 минут стоят у берега. На обратном пути они встречаются в 400 метрах от другого берега. Найти ширину реки. Ответ: 1760 метров.

6.Найти площадь закрашенной фигуры, если АВ=6 сантиметров, угол АСВ равен 90 градусов.

Ответ: .

7. Найти наибольший член последовательности

Студенческая олимпиада вгту, 2000

1. Доказать, что при есть полином степени .

2. Корабль находится в пункте , в пункте , в 30 милях к северу от О, и в пункте В, в 30 милях к востоку от О- еще по кораблю. Они должны прибыть в пункт Р, лежащий к северо-востоку от О. Определить этот пункт таким образом, чтобы расстояние, покрытое всеми кораблями , было наименьшим.

3. Исследовать функцию

на непрерывность в точке .

4. Найти вещественные корни уравнения

5. Найти предел Замена . Ответ: .

6. Найти предел отношения площади сегмента круга к площади треугольника, образованного хордой и касательными в концах дуги, при условии, что дуга сегмента стремится к нулю.

7. Найти поверхность, у которой всякая точка касания есть центр тяжести треугольника, отсекаемого на касательной плоскости плоскостями координат.

8. Найти ( с помощью определенных интегралов).