ФГБОУВПО «Воронежский государственный

технический университет»

Кафедра высшей математики

и физико-математического моделирования

Задачи студенческих математических олимпиад вгту

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для самостоятельной работы студентов по математике для

всех специальностей очной формы обучения

Воронеж 2011

Составители: канд. физ.-мат. наук Е.Г. Глушко,

ст. преп. С.А.Фурсова

УДК 517.9

Задачи студенческих математических олимпиад ВГТУ: методические указания для самостоятельной работы студентов по математике для всех специальностей очной формы обучения/ ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. Е.Г. Глушко, С.А. Фурсова. Воронеж, 2011. 55 с.

В методических указаниях содержатся задачи, подготовленные к студенческим математическим олимпиадам в Воронежском государственном техническом университете в разные годы.

Представлены задачи разной степени трудности, охватывающие курс как школьной, так и вузовской математики. К некоторым задачам приведены ответы.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержатся в файле «MATOLIMP.doc» .

Библиогр.: 6 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. А.П. Дубровская

Ответственный за выпуск зав. кафедрой

д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного технического университета

 ФГБОУВПО «Воронежский государственный

технический университет», 2011

ВВЕДЕНИЕ

Общеизвестно, что целью образования является раскрытие человеческих способностей, возможность дать учащимся знания и обучить их различным методам и концепциям. Традиционные компоненты обучения должны идти параллельно с поиском адекватных методов повышения мотивации студентов. Одним из способов стимуляции интереса студентов к обучению являются математические олимпиады. Соревновательный конституирующий аспект подобных мероприятий неизбежно проводит среди участников олимпиады деление на более и менее талантливых студентов, однако момент неравенства, как правило, обеспечивает создание ориентиров для отстающих учащихся и положительный стимул для более сильных конкурсантов. Из года в год студенческие математические олимпиады помогают выявить наиболее талантливых и перспективных студентов, многие из которых становятся впоследствии крупными специалистами в своих областях.

В Воронежском государственном техническом университете традицией является проведение олимпиад по изучаемым в вузе курсам, в частности, по математике. В настоящих методических указаниях собраны задачи, подготовленные в разные годы к студенческим олимпиадам по математике. Представленные задачи обладают разным уровнем сложности: от задач, не выходящих за рамки школьного и вузовского курса математики до задач, требующих нестандартного математического мышления. Отметим, что при проверке олимпиадных работ каждая задача имеет свой весовой коэффициент и ее решение оценивается с учетом этого коэффициента.

ЗАДАЧИ

1. На ровной площадке стоят два столба, высотой 10 и 15 метров. Если вершину каждого столба соединить с основанием другого, то точка пересечения этих линий будет на высоте 6 метров. Чему равно расстояние между столбами?

2. В одной равнинной местности отгородили прямоугольный участок и пробурили в нем скважину. Нефть появилась в точке, находящейся глубоко под землей на расстоянии 2100футов от одной из вершин прямоугольника, на расстоянии 18000футов от противоположной вершины и 6000 футов от третьей. Найти расстояние от этой точки до четвертой вершины. Ответ: 17100 футов.

3. Пассажир постоянно приезжает на станцию в пять часов. Его жена постоянно встречает этот поезд, чтобы увести мужа на машине. Однажды пассажир приехал на станцию в четыре часа, не стал ждать машину и пошел домой пешком навстречу жене. Встретив ее по пути, пассажир сел в машину и приехал домой на десять минут раньше обычного. Сколько времени пассажир шел пешком, если жена ездит с постоянной скоростью, выезжая из дома в одно и то же время, чтобы успеть к пятичасовому поезду. Ответ: 55 минут.

4. Два парома отходят одновременно от противоположных берегов реки и пересекают ее перпендикулярно берегам. Скорости у паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются друг с другом на расстоянии 720 метров от ближайшего берега реки. Прежде, чем плыть обратно, оба парома 10 минут стоят у берега. На обратном пути они встречаются в 400 метрах от другого берега. Найти ширину реки. Ответ: 1760 метров.

5. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

6. Для каких значений параметра а функция

имеет два корня.

Ответ: .

7. Найти площадь закрашенной фигуры, если АВ=6 сантиметров, угол АСВ равен 90 градусов.

С

В

А

Ответ: .

8. Решить систему .

Ответ:

9. Вычислить интеграл .

Ответ: .

10. Доказать справедливость неравенства

.

11. Найти расстояние между графиками функций и . Ответ: .

12. Функция f(x) периодична и равна расстоянию от х до ближайшего целого числа. Написать ее разложение в ряд Фурье.

Ответ: Коэффициенты разложения считаются по формулам , , .

13. Решить неравенство если

Ответ: .

14. Построить график функции .

15. При каком значении параметра а функция в точке имеет минимум.

Ответ: а>1.

16. Найти производную функции в точке

М(2,1) в направлении, перпендикулярном линии уровня, проходящей через эту точку. Ответ:

17. Решить систему . Ответ: х=-1, у=2; х=2, у=1; , , ,

.

18. Решить уравнение , зная, что оно имеет три корня, которые являются последовательными членами геометрической прогрессии.

19. Найти .

Ответ: бесконечность, при , при .

20. Найти наибольший член последовательности .

Ответ: .

21. Доказать равенство

.

22. В степи на расстоянии 9 км к северу от шоссе, идущего с запада на восток, от ближайшей на шоссе к поисковой партии точке на расстоянии 15 км расположен райцентр. Поисковая партия отправляет курьера – велосипедиста в райцентр. Каков должен быть маршрут следования, чтобы курьер прибыл в кратчайший срок, если по степи он едет со скоростью 8 км/ч, а по дороге – 10 км/ч.

Ответ: он должен ехать 3 км по дороге, остальное по степи.

23. Вывести формулы для сумм

24. Вычислить . Ответ: е.

25. Вычислить . Ответ: 50 .

26. С помощью правила Лопиталя вычислить

27. Средствами векторной алгебры доказать, что для всякого треугольника выполняется неравенство

cos2a+cos2b+cos2c>-1.5, где а, b, с – углы треугольника.

28. Решить уравнение .

Ответ: .

29. Среди комплексных чисел z, таких что найти число, имеющее наименьший аргумент.

Ответ: .

30. Показать, что функция периодична с периодом 2а, если при всех вещественных х она удовлетворяет условию .

31. Найти вероятность того, что корни квадратного уравнения вещественны, если

32. Найти многочлен минимальной степени, принимающий значения

33. При каких натуральных n число является квадратом целого?

34. При каких натуральных n число является квадратом целого?

35. Решить неравенство .

Ответ: нет решений.

36. Решить неравенство

Ответ: нет решений.

37. Показать, что функция принимает значения не более .

38. Показать, что функция принимает значения не менее .

39. В треугольнике АВС проведена медиана АД и на ней взята точка Е таким образом, что АЕ=2ЕД. Найти площадь треугольника ВЕС, если известно, что площадь треугольника АВС равна 1.

40. Площадь параллелограмма АВСД равна единице. На стороне АВ взята точка Н, такая что АН=2ВН, на стороне ВС взята точка М, такая что МС=2ВС, на стороне СД точка F, такая что ДF=2FС, на стороне АД – Е, такая что 2АЕ=СЕ. Найти площадь трапеции НFМЕ.

41. Пусть а – нуль функции , b – нуль функции . Показать, что функция имеет нуль между а и b.

42. Пусть а – нуль функции , b – нуль функции . Показать, что функция имеет нуль между а и b.

43.Товар упакован по 16, 17 и 40 килограмм. Может ли продавщица отпустить 140 килограмм товара, не вскрывая ни одного ящика?

44. Можно ли подобрать 1000 рублей, используя 40 купюр достоинством по 1, 10 и 100 рублей?

45. Последовательность чисел 1, 8, 22, 43, … обладает тем свойством, что разности двух соседних членов ( последующего и предыдущего) образуют арифметическую прогрессию. Найти

номер члена последовательности, равного 35351.

46. Найти сумму .

47. Найти сумму .

48. Найти произведение n первых членов геометрической прогрессии, если известно, что их сумма равна S, а сумма их обратных величин равна .

49. Вокруг эллипса описаны два прямоугольника. Доказать, что их диагонали равны.

50. Из произвольной точки гиперболы , отличной от (1,0) и (-1,0) проведены две касательные к окружности . Доказать, что прямая, проходящая через точки касания, касается гиперболы.

51.Определить радиус наибольшей окружности, лежащей на эллипсоиде , где a>b>c.

52.Функция f(x,y) непрерывна вместе со своими производными по х и по у и удовлетворяет условиям: f(0,0)=0, , . Доказать, что .

53.На параболе, которая является графиком функции берется точка с абсциссой и последовательность точек с абсциссами . Обозначим через точку пересечения оси Ox и секущей проведенной через точки и . Докажите, что последовательность точек имеет предел при и найдите этот предел.

Ответ: .

54. Дано Доказать, что многочлен имеет хотя бы один действительный корень.

55. Найти . Ответ: 1976.

56. Найти не пользуясь таблицами. Ответ: 1/2.

57. Что больше или .

Ответ: > .

58. Сколько раз дифференциpуема в нуле функция

Ответ: k/2 раз дифференцируема, (k-1)/2-непрерывная производная.

59. Доказать, что функция является монотонно возрастающей.

60. Пусть Найти , если Чему равны Ответ:

61. Доказать, что если - комплексные числа и то

62.Доказать

63. При каких действительных значениях функция

возрастает на всей области определения?

64. Через вершину А параллелограмма ABCD со сторонами 16 и 9 см провести прямую, пересекающую продолжение сторон CD и CB и отсекающую соответственно отрезки CF и CE, сумма которых имеет наименьшее значение.

65. Пусть

Доказать, что существует постоянная С такая, что

66. Функция непрерывна на отрезке , причем Доказать, что существует отрезок на котором

67. Среди всех вписанных в данный круг радиуса треугольников найти тот, площадь которого наибольшая.

68. Среди вписанных в данный эллипсоид

прямоугольных параллелепипедов (с ребрами, параллельными его осям) найти тот, который имеет наибольший объем.

69. Через точку провести плоскость, отсекающую от первого октанта тетраэдр наименьшего объема.

70. Целыми точками в пространстве называются точки с целочисленными декартовыми координатами Сколько целых точек лежит на плоскости

в замкнутом положительном октанте ?

Сколько их там в открытом октанте ?

71. Доказать, что

72. Вычислить

73. Найти предел

74. Пусть , n- фиксировано, Доказать, что функция в указанном промежутке положительна.

75. Доказать, что для непрерывных функций , таких, что удовлетворяющих условию

справедливо неравенство

76. Доказать, что последовательность, n-й член которой равен n-й частичной сумме ряда

,

взятой для стремится к пределу, отличному от 0. Найти этот предел.

77. Пусть - произвольное число, отличное от –1, -2, … . Найти сумму ряда

78. Если в гармоническом ряде

вычеркнуть все члены, знаменатели которых, записанные в десятичной системе, содержат цифру 9, то оставшаяся часть ряда будет сходящейся.

79. Найти ряд удовлетворяющий условиям

(n=1,2,3,…).

80. Установить сходимость ряда

и доказать оценку

81. Исследовать на сходимость ряд где положительные корни уравнения занумерованные в порядке возрастания.

82. Исследовать на сходимость ряд где положительные корни уравнения занумерованные в порядке возрастания.

83. Для каких действительных сходится ряд

84. Пусть Исходя из равенства

доказать справедливость соотношения

85. На плоскости дан треугольник со сторонами На

нем можно построить бесчисленное множество пирамид с данной высотой . Требуется из них найти ту, которая имеет наименьшую боковую поверхность

86. Доказать справедливость равенств

а)

б)

в)

г)

д)

87. Доказать тождество

88. Показать, что сумма

неотрицательна при

89.Решить уравнение

Ответ:

90. Сколько существует членов последовательности

Ответ: существуют три члена такой последовательности.

91. Нарисовать на плоскости множество точек , для которых выполнено неравенство

92.Найти все положительные числа такие, что неравенство справедливо при всех

Ответ:

93.Доказать неравенство

94.Найти все решения системы уравнений

где - функции от .

Ответ:

95.Вычислить Ответ:

96. Найти , где

Ответ:

97. Найти определитель девятого порядка

.

98. Найти необходимое и достаточное условие, которому должна удовлетворять матрица с целыми элементами, для того, чтобы все элементы обратной матрицы были бы целыми числами.

99. Найти все действительные матрицы М порядка n, у которых все элементы неотрицательны и существует обратная матрица М^-1 также с неотрицательными элементами.

100. Пусть А- симметрическая матрица с положительными элементами, - собственный вектор матрицы А, соответствующий наибольшему собственному значению. Доказать, что числа отличны от нуля и имеют одинаковый знак.

101. Найти угол, под которым пересекаются парабола и эллипс

102. Площадь трапеции равна 2, а сумма диагоналей равна 4. Найти высоту трапеции. Ответ: .

103. В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся сторон АВ,ВС и АС в точках Е,К,Р соответственно. Доказать, что если то треугольник АВС правильный.

104. Корни полинома равны 1, . Найти полином второй степени, для которого и доказать, что делится на

Ответ:

105. Найти площадь, ограниченную кривой , перейдя к полярным координатам. Ответ: .

106. Найти кривые, у которых треугольник между , касательной и радиус-вектором из начала в точку касания - равнобедренный.

Ответ:

107.Доказать

108.Точка А лежит на графике и В на кривой Какое наименьшее значение может

иметь длина отрезка АВ.

109.Вычислить .

110. Функция определена на всей числовой прямой, является нечетной периодической с периодом 4 и на промежутке имеет вид Решить уравнение Ответ:

111. Среди комплексных чисел , удовлетворяющих условию

, найти число, имеющее наименьший положительный аргумент. Ответ:

112. Дано множество всех действительных чисел, включая

( со следующими операциями

Является ли множество с указанными операциями линейным пространством?

113.Решить уравнения:

а) б)

в)

114. В какой области верно неравенство

115. Пусть , Доказать, что

116.

117. К параболе провести нормаль, отсекающую от нее сегмент наименьшей площади.

118. Доказать, что если то

119. Доказать равенство

120. Периметр равнобедренного треугольника равен .

Каким должны быть его стороны, чтобы объем тела, полученного от вращения этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим.

121.Построить эскиз графика

122.Найти число с наименьшим модулем среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию

123.Найти число с наименьшим аргументом среди чисел , удовлетворяющих условию

124. Вычислить

125. Найти число с наибольшим модулем среди комплексных чисел , удовлетворяющих условию

Ответ

126. Найти

Ответ:

127.На эллипсе даны две точки . На этом же эллипсе найти такую третью точку , чтобы треугольник АВС имел наибольшую площадь (площадь треугольника выразить через координаты его вершин).

128.Найти такое значение R, чтобы окружности и пересекались под прямым углом (были ортогональны).

129.Показать, что семейство гипербол образуют ортогональную сетку, то есть любая кривая первого семейства пересекает любую кривую второго семейства под прямым углом.

130.Проверить, что любая касательная к гиперболе образует с ее асимптотами треугольник постоянной площади.

131. Проверить, что кривая касается прямой во всех общих точках, кроме начала координат.

132. На плоскости задан произвольный многоугольник и некоторый вектор. Показать, что найдется прямая, параллельная этому вектору, рассекающая многоугольник на две части одинаковой площади.

133.Найти объем тела, полученного при вращении круга радиусом относительно прямой, лежащей в плоскости круга и отстоящей от его центра на расстоянии .

Ответ

134. Дан круг радиусом и прямая, лежащая в плоскости круга на расстоянии от центра . Найти объем тела, полученного при вращении вокруг этой прямой каждой из частей круга, на которые его делит данная прямая.

Ответ:

135. Внутри данного угла В поместить отрезок DE длины b, концы которого – точки D и E- находятся на сторонах угла, так чтобы площадь треугольника DBE была наибольшей.

Ответ: треугольник равнобедренный.

136. Определить положение точки относительно вершин остроугольного треугольника ABC, чтобы сумма расстояний от этой точки до вершин треугольника была наименьшей.

Ответ: центр тяжести треугольника.

137. На плоскости заданы точек . Найти координаты точки такой, что ( - заданные положительные числа) будет наименьшей. Дать механическое истолкование полученных формул.

Ответ:

138. Решить функциональное уравнение

Ответ:

139. Решить уравнение Найти

Ответ:

140. Решить уравнение Найти

Ответ:

141. Вычислить Ответ:

142. Вычислить Ответ:

143. Доказать:

144. Вычислить предел Ответ: 2/3.

145. Вычислить предел Ответ: 0.

146. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла доказать, что

147. Вычислить Ответ: 200 .

148. Параболы и при некоторых значениях и имеют единственную общую точку . Показать, что эта точка лежит на гиперболе

149.Построить эскиз графика функции

150. Вычислить предел .

Ответ: 19/90.

151. Доказать, что для непрерывной на функции справедливо равенство

152. Доказать, что

153. Доказать, что если точки комплексной плоскости являются вершинами равностороннего треугольника, то

154. Доказать, что

155. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке О . Доказать, что АВ²+ВС²+СА² =3(ОА²+ОВ²+ОС² ).

156. В треугольнике АВС заданы уравнения сторон (АВ): (АС): и точка пересечения медиан М(0;2). Составить уравнение описанной около треугольника окружности.

157. Найти среднее значение функции в области

158. Два злоумышленника пытаются вскрыть два сейфа. Для этого им нужно угадать код, состоящий из трех цифр. Первый злоумышленник знает первую цифру своего кода, а второму известно, что сумма цифр его кода равна 13. Кто из них находится в более благоприятных условиях.

159.При каком значении а объем тела, ограниченного поверхностями , , равен данному числу V.

160. Показать, что ряд сходится и найти сумму.

161. Найти общее решение дифференциального уравнения

162. Заданы две случайные величины X и Y. X- температура воздуха в г. Хабаровске 5 июля. Y- температура воздуха в г. Владивостоке 5 июля. Известны следующие вероятности: , , . Определить вероятность .

163. Известно, что . Вычислить .

164. Известны два частных решения дифферен-

циального уравнения , удовлетворяющее условию Найти условия, которым удовлетворяют функции и

165. Показать, что существуют числа  и , при которых , где , , x, y – действительные числа.

166. Найти проекцию прямой на плоскость

167. Записать полярное уравнение окружности с центром в т. и радиусом , где - эксцентриситет эллипса, полученного в сечении круглого цилиндра радиуса R=7 плоскостью, наклонной к его оси под углом 30⁰.

168. Определить минимум функции

169. Доказать неравенство .

170. Найти

171. Найти точку пересечения прямой и интегральной кривой дифференциального уравнения , проходящей через точку (1,3) вместе со своей первой производной.

172. Найти общее решение уравнения

173. Функция трижды дифференцируемая на множестве R. При этом функции всюду положительные. Доказать, что существует такое положительное число а, что при любом .

174. Вычислить интеграл .

175. Найти сумму ряда , k –

натуральное число.

176. Решить уравнение .

177. Доказать, что объем тела, ограниченного поверхностя-

ми , где произвольная положительная интегрируемая функция, равен 0,5ПС²(а+b).

178. Разложить в ряд функцию по степеням х .

179. Решить уравнение

180. Цепь под влиянием собственного веса принимает форму кривой Показать, что при малых х можно заменить цепную линию параболой .

181. При какой функции будет выполняться равенство

, - радиус вектора точки.

182. В шкафу находится 10 пар туфель. Случайно выбираются 4 туфли. Найти вероятность того, что среди выбранных туфель окажется хотя бы одна пара.

183. Вычислить определитель n-го порядка:

184. Если действительные числа. Установить вид графика функции .

185. Дана матрица . Найти

186. Вычислить предел .

187. Дано уравнение пучка прямых

.

При каком значении а прямая принадлежит указанному пучку и проходит перпендикулярно прямой .

188. Функция симметрична относительно точки

и непрерывна. Доказать, что .

189. Привести пример функции , имеющей точки

разрыва, и такой, чтобы функция была непрерывна на всей числовой оси.

190. Функция непрерывна при , дифференцируема в интервале и . Доказать, что если

возрастает, то и функция возрастает.

191. Вычислить

192. Доказать, что для любых векторов x, y, z в евклидовом пространстве справедливо равенство

193. Решить матричное уравнение X+SX+XS=A, где S² – нулевая матрица.

194. Вершина пирамиды находится в начале координат, боковые ребра параллельны векторам , а плоскость основания проходит через точку с радиусом-вектором . Найти объем такой пирамиды с наибольшей высотой.

195. Составить уравнение линии, по которой перемещается середина единичного отрезка, концы которого находятся на параболе y=x².

196. Вычислить интеграл , взятый по интервалу убывания функции y=y(x). Последняя неявно задается уравнением xy–e^y=0.

197. Исследовать на сходимость ряд с общим членом .

198. Просуммировать ряд .

199. Функция y=y(x) удовлетворяет уравнению

Доказать, что y(x)<1.

200. Из однородной пластинки x,y≥ 0, x²+у²≤1 вырезан квадрат x≤ 0.5, y≤ 0.5. Где находится центр массы оставшейся части ?

201. Найти преобразование Лапласа от функции

202. Точка Z комплексной плоскости перемещается по окружности |Z|=1. Перемещение происходит в моменты времени t=0,1,2…n… на угол 2π /3 с вероятностью p и на –2π /3 с вероятностью q. Найти математическое ожидание Z. В момент t=0 Z=1.

203. Доказать, что функция равна 0 при и равна при

204. Построить график функции

205. Доказать, что если функция имеет локальный максимум А и локальный минимум В, то А<В .

(4 балла)      

206. Даны два треугольника ABC и ABD, имеющих общую сторону, причем векторы, совпадающие со сторонами AB, AC и AD не компланарны. Найти геометрическое место точек M, таких, что отношение объемов MABC и MABD есть величина постоянная. (3 балла)      

207. Дана функция

Найти функцию и построить ее график. Сколько точек разрыва имеет функция ?

Указать их. (4 балла)      

208. Найти прямые, пересекающие прямые

и

и параллельные плоскости х+у+z=0. (1 балл)      

209. Дана произвольная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ . Точка Е делит ребро АВ пополам, а точка F– ребро ACв отношении 3:1. В каком отношении плоскость B₁EF делит объем этой призмы? (4 балла)      

210. Доказать, что если , то

(3 балла)      

211. При каких значениях ряд сходится, а при каких расходится? (3 балла)      

212. Круглый диск параллелен плоскости , причем центр его расположен в точке (1,0,2), а радиус равен 1. На оси OZ расположена светящаяся точка так, что тень от диска на плоскости XOY ограничена параболой. Найти уравнение этой параболы. (6 баллов)  

213. Любые 50 из 96 акционеров владеют не менее 25% стоимости компании. Какова максимальная доля может принадлежать директору компании?

214. Пусть f(x) - многочлен и f(xⁿ) делится на x-1. Доказать, что  f(xⁿ) делится на xⁿ -1.

215.Сколько целых решений имеет уравнение 2003x² - y(x-1) =1?

216. Между пунктами A и B расстояние 80 км. Поезд трогается из пункта A и через час останавливается в пункте B. Доказать, что в некоторый момент времени его ускорение (или замедление) не меньше чем 320 км/час².

217. Для нечетного n возьмем последовательность a₁, a₂, a₃,...,a_n целых чисел. Переставив их произвольным образом, получим последовательность b₁, b₂, b₃,...,b_n . Доказать, что среди чисел a_i+b_i найдется хотя бы одно четное. 218. При каких значениях параметра a уравнение

(arcsin x)³ + (arccos x)³ = a имеет единственное решение?

219. Пусть x_n - возрастающая последовательность всех положительных корней уравнения tg x = x. Найти (x_n+1 - x_n).

220. Даны АВС и АBD, имеющие общую сторону, причем А(1,0,1), В(0,1,1), С(1,1,0), D(0,-1,0). а) Доказать, что векторы не компланарны; б) Найти множество точек М(x,y,z), таких, что отношение объемов МАВС и MABD равно 2. (4 балла)

221. Даны вершина (3;5) равнобедренного треугольника, уравнение x -2y +12=0 его основания и площадь S = 15. Составить уравнение боковых сторон. (5 баллов)

222. В плоскости aOb укажите множество точек (a;b) таких, что система уравнений , где , имеет ненулевое решение. (4балла)

223. При каких матричное уравнение имеет решение среди действительных матриц? Найти его. (6 баллов)

224. Найти пределы:

a) (5 баллов)

б)

(6 баллов)

225. Пусть

Найти . (5 баллов)

226. Числа x, y удовлетворяют неравенству Какие значения может принимать выражение

227. Вычислить интегралы:

a) б)

228. Рассмотрим тело, ограниченное плоскостями x = a, x = b и поверхностью, получающейся при вращении графика функции y = f(x) вокруг (лежащей в плоскости xOy) прямой y = m. При каком m объем этого тела является наименьшим? (6 баллов)

229. Векторы известны и служат ребрами параллелепипеда объёма V. Найти вектор , если   (5 б)

230. Найти x,y,z из системы уравнений

где . (6 б)

231. Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм. Плоскость отсекает от трех боковых ребер SA, SB, SC соответственно (считая от вершины S). Какую часть отсекает она от ребра SD ? (7 б)

232. Треугольник ABC , где A(1,-1,2),B(0,0,-2),C(4,-4,2) проектируется на некоторую плоскость в отрезок длины . Записать уравнение этой плоскости, зная что она проходит через точку (7 баллов)

233. Решить уравнение , где , X- квадратная матрица, - транспонированная к ней.

234. С помощью матрицы образуется последова-

тельность: . Найти предел отношения координат вектора при при условии , что он существует.

(7 баллов)

235. Построить график функции

(5 б.)

236. При каких существует и отличен от нуля предел (4б.)

237. Доказать, что для различных многочлен

имеет n-1 различных действительных корней. (6 б.)

238. Найти кратчайшее расстояние между кривыми и (5 баллов)

239. Какие значения может принимать выражение если  ? (6 баллов)

240. Функция f(x) дважды дифференцируема на [a,b], причем Через некоторую точку , кривой y=f(x) проведена касательная вместе с прямыми x=a, x=b, y=0 образует трапецию минимальной площади. Найти координаты точки и площадь трапеции. (7 баллов)

241. Найти n (n  N) из уравнения , где [x] целая часть числа х, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее х. (5 баллов) 242. Вычислить интеграл ,

где (4 балла)

243. Доказать, что , если А – произвольная квадратная матрица.

244. Решить и исследовать уравнение Х² =А, где А данная, Х искомая матрица 2^го порядка.

245. Найти , не используя правило Лопиталя.

246. Найти , .

247. Если точка Z описывает окружность радиуса r с центром в точке a+bi, то как перемещается точка .

248. Дана бесконечно дифференцируемая функция y=f(x), причем только конечное число производных ее в любой точке не равна 0. Доказать, что эта функция многочлен.

249. Доказать, что

250. Найти сумму: а) б) в) 251. Медиана треугольника ABC пересекаются в точке О. Доказать, что: AB +BC +CA =3(OA +OB +OC )

252. В треугольнике ABC заданы уравнения сторон (AB): 2x-y-3=0, (AC): 7x+4y-3=0 и точка пересечения медиан M(0;2) Составить уравнение описанной около треугольника окружности. 253. Найти .

254. Найти решение системы уравнений A -2 = , если - заданный вектор, а матрица A удовлетворяет условию A -6A +8A-2E=O (E-единичная, O-нулевая матрицы).

255. Найти a и b, если 256. При каких уравнение имеет решение? Найти число корней уравнения в зависимости от значений параметра a.

257. Найти минимальное расстояние между такими двумя точками A и B параболы y=x , что касательная к параболе в одной из точек перпендикулярна хорде AB.

258. Какие значения может принимать x+y+z, если ? 259. Вычислить

260. Доказать, что интеграл сходится абсолютно, хотя подынтегральная функция неограниченна на любом

промежутке [a; ), a>0.

261. При каких значениях площадь фигуры, ограниченной линиями будет наименьшей (p,q,b - заданные числа, причем b>q)? Найти эту площадь.

  262. Для любого натурального n положим

Показать, что при n > 2 справедливо равенство

.

Вывести отсюда неравенства

.

263. Пусть , где . Найдите .

264. Найдите все дифференцируемые функции, удовлетворяющие уравнению

265. Для любого натурального числа x строим последовательность x_n, полагая x₀=x; x_n+1=3x_n+1, если x_n - нечетное и x_n+1= x_n/2, если x_n - четное. Доказать, что существует бесконечно много нечетных натуральных чисел x, для которых в последовательности x_n встретится число 1.

[Верно это или нет для всех натуральных чисел - нерешенная проблема.]