- •Программа курса “интегрирование. Дифференциальные уравнения ” Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •Дифференциальные уравнения
- •Вопросы для самопроверки
- •Индивидуальные задания Задача № 1
- •Задача № 2
- •Задача № 3
- •Задача № 4
- •Задача № 5
- •Задача № 6
- •Задача №7
- •Задача №8
- •Задача №9
- •Задача №10
- •Примеры решения задач Задача №1
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Задача №5
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Методические указания
- •Составители: Бырдин Аркадий Петрович
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Задача №2
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Решение. Напомним определение несобственного интеграла. Если существует конечный предел
,
то этот предел называют несобственным интегралом от функции на промежутке [a, +∞) и обозначают
.
Следовательно, по определению
.
В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае – расходится.
Так как полученный предел не существует, то интеграл расходится.
.
В данном случае интеграл расходится.
Задача №3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и . Сделать чертеж.
Решение. Если фигура ограничена графиками функций и и соответствующими отрезками прямых и , то ее площадь вычисляется по формуле
.
В нашем случае и , a и b – абсциссы точек пересечения указанных прямых (рис.1).
y
2
0 1 3 4
-2
Рис. 1
Найдем эти значения.
,
,
.
Найдем площадь фигуры:
.
Задача №4
Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением .
Решение. Длина дуги кривой, заданной уравнением при , вычисляется по формуле .
В рассматриваемом случае . Поэтому
.
Задача №5
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной линиями . Сделать чертеж.
Решение. Объем V тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной графиком функции , отрезками прямых и и отрезком оси , равен
.
Изобразим указанную в условии задачи фигуру (рис. 2).
y
0
3 x
Рис. 2
По формуле находим:
.
Пример 6. Решить уравнение .
Решение. Разделим обе части уравнения на . Получим
.
Полученное уравнение имеет вид , где и . Правая часть уравнения является функцией одной переменной, следовательно, решаемое уравнение - однородное. Сделаем замену , тогда и уравнение принимает вид , где -новая неизвестная функция. Осталось решить уравнение или
Правая часть этого уравнения представляет собой произведение двух функций и зависит только от , -только от , это уравнение с разделяющимися переменными. Для его решения разделим переменные. Умножая уравнение на и деля на , получим . Интегрируя последнее равенство, найдем (произвольную постоянную можно обозначить не , а ). Тогда , т.е.
; .
Возвращаясь к исходной неизвестной функции, имеем .
Пример 7. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .
Решение. Сначала находим общее решение уравнения. Разделим уравнение на Получим уравнение вида , где т.е. линейное уравнение первого порядка. Будем его решать методом Бернулли, т.е. искать решение в виде , где подлежат определению. Поскольку , то уравнение
принимает вид
В качестве возьмем любую функцию, обращающую в ноль сомножитель при , т. е. частное решение уравнения Это уравнение с разделяющимися переменными, поэтому, умножая его на и деля на , получим
т. е. . Следовательно, (произвольная постоянная не добавляется, так как берется частное решение).
Подставим найденное v в исходное уравнения, тогда второе слагаемое в правой части обратится в ноль, и для получим уравнение
; .
Отсюда, используя формулу интегрирования по частям, найдем
Возвращаясь к исходной неизвестной функции , находим общее решение:
Найти частное решение – это значит, определить, исходя из начальных условий, постоянную . Подставляя начальные условия, получим
, откуда .
Тогда частное решение запишется в виде
Пример 8. Решить уравнение
Решение. Уравнение имеет вид где , т.е. это уравнение Бернулли. Решение уравнения будем искать в виде . Поскольку , то уравнение примет вид
Возьмем в качестве любую функцию, обращающую в ноль второе слагаемое левой части, т.е. частное решение уравнения . Это уравнение с разделяющимися переменными. Его решение имеет вид Подставляя найденное в исходное уравнение, получим
Опять получили уравнение с разделяющимися переменными, решение которого
Возвращаясь к исходной неизвестной функции , находим решение
Некоторые типы уравнений второго порядка приводятся к уравнениям первого порядка.
Наиболее простым является тот случай, когда правая часть уравнения зависит только от х
.
Общее решение в этом случае получаем с помощью последовательного интегрирования
, ;
, , .
Решение задачи Коши с начальными условиями , может быть записано в виде
.
На практике обычно не пользуются готовыми формулами, а, используя начальные условия, находят значения постоянных постепенно, в процессе интегрирования.
Пример 9. Решить уравнение .
Решение. Умножая обе части на и интегрируя, получим
, ;
, .
Пример 10. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условиям , , .
Решение. Перепишем уравнение в виде . Отсюда получим
, .
Подставим начальное условие и найдем постоянную
, .
Следовательно, . Умножая обе части уравнения на и интегрируя, получим
, .
Используя начальное условие , получим , . Получим частное решение, удовлетворяющее начальным данным:
.
Уравнения вида , которые не содержат явным образом . Обозначим производную через т.е.
Тогда
Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка.
Уравнения вида , которые не содержат явным образом .
Положим и, так как , то для определения производной применим правило дифференцирования сложной функции
Подставляя выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции
.
Пример 11. Решить уравнение .
Решение. Вводим новую функцию , , тогда . Подставив ее в уравнение, имеем
.
Это линейное уравнение первого порядка относительно и его решение разыскиваем в виде произведения
Учитывая требования , , находим функцию : подставляем в уравнение для определения
Отсюда
.
Таким образом, , и можно найти функцию y
,
Пример 12. Найти общий интеграл уравнения .
Решение. Уравнение не содержит явным образом . Следовательно, допускается понижение порядка. Обозначим
Тогда .
Получим уравнение с разделяющимися переменными , интегрируя которое, находим или
Откуда
Решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и непрерывной правой частью вида
(1)
ищется в виде суммы , где -частное решение исходного уравнения (1), а -общее решение соответствующего однородного уравнения
. (2)
Вид общего решения определяется корнями характеристического уравнения. Вид частного решения - видом правой части уравнения (1).
1) Пусть (3)
где - многочлен -ой степени. Тогда существует частное решение вида , где , а принимает одно из трех возможных значений 0, 1, 2:
2) Пусть правая часть уравнения (1) может быть представлена в виде
(4)
где и степени многочленов и . Тогда существует частное решение вида
(5)
где , -полные многочлены степени , а принимает одно из двух значений 0 или 1:
Если правая часть уравнения (1) может быть представлена в виде суммы функций (3), (4), т. е. , то частное решение уравнения ищется в виде суммы , где -частное решение уравнения , а -частное решение уравнения .
Пример 13. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Общее решение уравнения имеет вид , где -общее решение однородного уравнения . Составляем и решаем характеристическое уравнение
-частное решение исходного уравнения, которое определяем по виду правой части Здесь следовательно
2 5
1 0
1
Для определения коэффициентов А и В нужно решение и его производные подставить в исходное уравнение. Для этого умножаем соответственно на , и (коэффициенты уравнения) и складываем. Затем приравниваем коэффициенты при в одинаковых степенях, представив правую часть уравнения в виде
,
,
,
.
Решая полученную систему, найдем , . Следовательно,
.
Общее решение заданного уравнения имеет вид
.
Пример 14. Найти решение неоднородного уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корни и общее решение однородного уравнения имеет вид
Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме
.
( , так как характеристическое уравнение имеет корень, равный ). Коэффициенты определим, подставляя решение частное решение в исходное уравнение
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях тождества, получим систему уравнений для определения : .
Решая ее, найдем : и общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
Чтобы определить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (решить задачу Коши), найдем производную общего решения неоднородного уравнения
Подставляя найденное решение и его производную в начальные условия, получим систему уравнений для определения коэффициентов :
Решая ее, определим : .
Следовательно, искомое частное решение запишется в виде
.
Система дифференциальных уравнений вида
где , , …, - неизвестные функции независимой переменной , называется нормальной системой.
Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , , …, , то система дифференциальных уравнений называется линейной.
Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению -го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (так называемый метод исключения).
Рассмотрим этот метод на конкретных примерах.
Пример 15. Найти общее системы дифференциальных уравнений
Решение. Продифференцируем по первое уравнение: . Подставляя сюда выражения и из системы, получим
или имеем . Характеристическое уравнение
имеет корни . Следовательно, общее решение для запишется в виде
Общее решение для находим из первого уравнения:
.
Пример 16. Найти общее системы дифференциальных уравнений
Решение. Продифференцируем по первое уравнение: . Исключая из полученного уравнения , имеем . Еще раз продифференцируем по полученное уравнение второго порядка: . Исключая , получим
,
т.е. мы пришли к уравнению с одной неизвестной функцией. Решив это линейное однородное уравнение третьего порядка, получим
.
Общее уравнение для получим из первого уравнения системы:
или
.
Из второго уравнения системы найдем :
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица производных простейших элементарных функций.
I. (С) = 0.
II. в частности
III. (logа х) = logа е, в частности (ln х) = .
IV. в частности,
V. (sin х) = cos х.
VI. (cos х) = sin х.
vii. ( ) =
VIII. (ctg x)=
IX. (arcsin х) = .
X. (arccos x) = .
XI. (arctg x) = .
(arcctg x) = .
XIII. (sh х) = ch х.
XIV. (ch х) = sh х.
(th x) =
XVI. (cth x) =
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица интегралов простейших элементарных функций
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX . .
X.
XI. .
XII.
XIII.
XIV.