Задача №8
Найти общее решение дифференциального уравнения
1.
а)
б)
2.
а)
б)
3.
а)
б)
4.
а)
б)
5.
а)
б)
6.
а)
б)
7.
а)
б)
8.
а)
б)
9.
а)
б)
10.
а)
б)
11.
а)
б)
12.
а)
б)
13.а)
б)
14.
а)
б)
15.
а)
б)
16.
а)
б)
17.
а)
б)
18.
а)
б)
19.
а)
б)
20.
а)
б)
Задача №9
Найти общее решение дифференциального уравнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Задача №10
Методом исключения найти общее решение системы дифференциальных уравнений
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Примеры решения задач Задача №1
Найти неопределенный интеграл.
а) Интегрирование по частям.
Для решения примеров данного пункта воспользуемся формулой интегрирования по частям:
.
Этот метод удобно применять в следующих случаях.
Когда подынтегральное выражение содержит в виде множителя функции
,
,
arccos
x,
,
,
то в качестве
следует выбирать эти функции.
;
Положим
,
.
Тогда
,
.
Следовательно,
.
Подынтегральная функция имеет вид
,
,
,
где P(x)
– многочлен. Если в качестве u(x)
выбрать P(x),
то в новом интеграле подынтегральная
функция вновь будет принадлежать одному
из указанных типов, но степень многочлена
будет на единицу меньше.
.
Положим
,
.
Тогда
,
а
.
Значит
.
К
полученному интегралу снова применим
формулу интегрирования по частям.
Положив
,
,
получим
,
.
Тогда
.
Следовательно,
.
Подынтегральная функция имеет вид
,
,
,
cos(ln x).
После двукратного применения формулы
интегрирования по частям, вновь
получается исходный интеграл с некоторым
коэффициентом. Полученное равенство
является линейным алгебраическим
уравнением относительно искомого
интеграла.
.
Положим
,
.
Тогда
.
Имеем
.
Получили линейное относительно искомого интеграла уравнение:
,
откуда находим
.
б) Интегрирование рациональных дробей.
Напомним, что
рациональной называется дробь вида
,
где
- многочлены степеней n и m
соответственно. Если
,
то рациональная дробь называется
правильной, если
- неправильной. Неправильную рациональную
дробь, выделив из нее целую часть, можно
представить в виде многочлена и правильной
дроби.
Метод интегрирования правильной рациональной дроби состоит в разложении дроби на сумму простейших дробей и последующем интегрировании каждого слагаемого этого разложения.
.
Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Следовательно, можно сразу производить разложение на простейшие дроби. Разложение имеет вид
,
где коэффициенты A, B, C, D могут быть определены методом неопределенных коэффициентов.
Приведем дроби, стоящие в правой части равенства к общему знаменателю:
и приравняем числители получившихся дробей
.
Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x. Приравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений для определения A, B, C и D:
при
: 2A
+ 4C = 0;
при
: -A
+ B – 4C
+ 4D = 3;
при
: 2A
+ C – 4D
= 0;
при
: -A
+ B
+ D = -2.
Решив эту систему, находим коэффициенты A, B, C и D:
Таким образом, разложение подынтегрального выражения принимает вид:
.
Следовательно,
.
в) Интегрирование иррациональных выражений.
С помощью подходящей подстановки подобные выражения сводят к рациональным и далее используют уже известные методы интегрирования рациональных выражений.
.
Сделаем
подстановку
.
Тогда
.
.
г) Интегрирование тригонометрических выражений.
При вычислении
интегралов
,
где n, m
– целые числа рекомендуется использовать
следующие приемы:
Если оба показателя n и m - неотрицательные четные числа, то применяют формулы понижения степени:
.
.
Если n и m - натуральные числа такие, что хотя бы одно из них нечетное, то в случае нечетного m полагают
,
а в случае нечетного n
полагают
и применяют формулу
.
.