Составители: канд. физ.-мат. наук А.П. Бырдин,
канд. физ.-мат. наук Н.В. Заварзин,
канд. техн. наук А.А. Сидоренко,
канд. физ.-мат. наук Л.П. Цуканова
УДК 517.2 (07)
Методические указания по проведению самостоятельной работы по курсу “Математический анализ” для студентов специальностей 230104 «Системы автоматизированного проектирования», 230202 «Информационные технологии» очной формы обучения / ГОУВПО “Воронежский государственный технический университет”; cост. А.П. Бырдин, Н.В. Заварзин, А.А. Сидоренко, Л.П. Цуканова. Воронеж, 2011. 47 с.
Методические указания используются для организации и проведения самостоятельной работы студентов в первом семестре.
Предназначены для студентов первого курса.
Ил.2. Библиогр.: 6 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.Н. Потапов
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат.
наук, проф. В.Д. Репников
Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ГОУВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2011
Программа курса “интегрирование. Дифференциальные уравнения ” Неопределенный интеграл
1. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой [1, гл.10, §§1-4,6].
2. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональных выражений [1, гл. 10, §§5,7-10,12].
Определенный интеграл
3. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла [1, гл.11, §§1-3].
4. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница [1, гл.11, §4].
5. Вычисление определенного интеграла интегриро-ванием по частям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона [1, гл.11, §§5-6,8].
6. Приложение интегралов к вычислению площадей, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. [1, гл.12, §§1,3,5,6].
Несобственный интеграл
7. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Основные свойства. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости [1, гл. 11, § 7].
Дифференциальные уравнения
8. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Уравнения первого порядка (общие понятия) 2, гл. XIII, §1.
9. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли [2, гл. XШ, §§4,5,7,8].
10. Способы понижения порядка дифференциального уравнения [2, гл. XIII, §§ 17,18, 2 гл. IV, §2, п. 2-4].
11. Линейные уравнения второго порядка. Общие свойства [2, гл. XIII, §§ 20, 23].
12. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение однородного уравнения. Частное решение не однородного уравнения с правой частью специального вида. Метод вариации произвольной постоянной [2, гл. XIII, §§ 21,23,24].
13. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод исключения [2, гл. XIII, §§ 29,30].
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение первообразной функции и неопределенного интеграла.
2. Напишите таблицу основных интегралов.
3. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
4. Выведите формулу замены переменной в неопределенном интеграле.
Выведите формулу интегрирования по частям.
6. Запишите простейшие рациональные дроби I-IV типов. Вычислите неопределенные интегралы от простейших рациональных дробей I-III типов.
7. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие методом неопределенных коэффициентов.
Интегрирование иррациональных выражений.
9. Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка.
10. Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла.
11. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.
12. Интегрирование заменой переменной и по частям в определенном интеграле
Несобственные интегралы первого и второго рода.
14. Теоремы оценки сходимости несобственных интегралов первого и второго рода.
15. Формула площади криволинейной трапеции в декартовой системе координат.
16. Формулa площади криволинейной трапеции в полярной системе координат.
17. Формула длины дуги кривой в декартовой системе координат.
Формула объема тела вращения.
19. Дайте определение дифференциального уравнения. Как определяется порядок дифференциального уравнения?
20 Дайте определение общего и частного решений дифференциального уравнения.
21. Сформулируйте задачу Коши.
22. Дайте классификацию дифференциальных уравнений 1-го порядка и укажите способы их решения.
23. Приведите типы дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка и укажите способы понижения порядка таких уравнений.
24. Дайте определение линейного дифференциального уравнения второго порядка. Сформулируйте теорему об общем решении такого уравнения.
25. Как находится общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?
26. Как находится частное решение неоднородного уравнения с правой частью специального вида?
27. Как находится решение неоднородного уравнения методом вариации произвольной постоянной?
28. Запишите систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Как находится общее решение таких систем методом исключения?