Учебное пособие 2047

Рис. 99(г). Варианты 15–16 задания 4

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется геометрическим телом?

2.Какие поверхности называются многогранными?

3.Какая геометрическая фигура называется многогранником?

4.Какое геометрическое тело называется призмой?

5.Какое геометрическое тело называется пирамидой?

6.Какие поверхности называются поверхностями вращения?

7.Как образуется коническая поверхность?

8.Что такое конус?

9.Как образуется цилиндрическая поверхность?

10.Что такое цилиндр?

11.Какие различия существуют у цилиндрических поверхностей?

12.Дать определение цилиндра общего вида.

90

3.2.Многогранники. Сечение многогранника плоскостью

3.2.1.Определение видимости ребер на поверхности многогранника

Проекции ребер, образующих внешний контур проекции многогранника, всегда видны. Видимость остальных ребер многогранника определяется методом конкурирующих точек.

Определение видимости точек ребер АS и ВС наклонной пирамиды иллюстрируется на рис. 100. Сначала проводим проецирующий луч перпендикулярно π1 (из места пересечения А1S1 и В1С1). Возьмем точку 1 на АS, а точку 2 — на ВС. Прямая АS видна на π1, так как точка 1 этой прямой ближе к наблюдателю (смотрим по стрелке N), поэтому А1S1 будет видима на π1, а ВС — невидимая, так как точка 2 невидима.

22

А2 В2 С2

11≡(21)

А1 С1

Рис. 100. Определение видимости ребер методом

конкурирующих точек

3.2.2. Определение видимости граней на поверхности многогранника

Видимость граней на поверхности многогранника определяется визуально. Если видны все ее ребра, то грань видна, а если не видно хотя бы одного ребра, то грань многогранника не видна.

91

Решение: из 12 проводим линию связи на А1S1. Тогда 11 будет принадлежать А1S1 согласно правилу принадлежности точки прямой (рис. 102): точка принадлежит прямой, когда одноименные проекции точки лежат на одноименных проекциях прямой. То есть фронтальная проекция точки — на фронтальной проекции прямой, а горизонтальная проекция точки — на горизонтальной проекции прямой.

Точку 13 находим по правилу построения третьей проекции точки по двум данным (см. рис. 45).

92

Х О

Рис. 102. Принадлежность точки прямой

Задача 2. Дано: трехгранная пирамида и точки, принадлежащие ее основанию (рис. 103, а). Найти недостающие проекции этих точек.

Решение. Если точки принадлежат основанию, то их будет две. То есть одной фронтальной проекции будут соответствовать две горизонтальных. Соответственно находим точки 21 и 31, принадлежащие ребрам (сторонам) основания АВ и ВС. Для этого из точек 22 и 32 проводим линию связи на стороны основания А1В1 и В1С1. Точка 21 будет находиться на А1В1, а точка 31 — на В1С1, согласно правилу принадлежности точки прямой.

Точку 23 и 33 находим по правилу построения третьей проекции точки по двум данным (см. рис. 45).

Для нахождения точек внутри очерка пирамиды используют принадлежность точек соответствующим сечениям, то есть проводят вспомогательные секущие плоскости. Если точки находятся внутри очерка, то на фронтальной проекции их будет как минимум две.

Задача 3. Дано: трехгранная пирамида и точки 1 и 2, принадлежащие разным граням ее боковой поверхности (рис. 103, б). Фронтальные проекции точек 12 и 22 совпадают. Найти горизонтальные проекции этих точек.

Решение:

–через точки 12 и 22 проводят фронтальный след α2 вспомогательной секущей горизонтальной плоскости α и строят сечение пирамиды этой плоскостью. Фронтальная проекция сечения совпадает с

фронтальным следом α2. Горизонтальной проекцией сечения является фигура, подобная основанию пирамиды;

–на ребре S2А2 отмечают точку 12′ и находят 11′. Из 11′ проводят прямые, параллельные сторонам основания, и получают искомое се-

чение. Горизонтальные проекции 11 и 21 находят с помощью линий связи. Видимость точек определяют методом конкурирующих точек.

93

На рис. 103, б изображены пирамида и точка 1, принадлежащая ее боковой поверхности. Известна горизонтальная проекция точки — 11. Требуется найти ее фронтальную проекцию — 12. Для решения задачи необходимо через точку 11 параллельно основанию пирамиды провести сечение. Фронтальная проекция точки 12 будет принадле-

жать этому сечению. На плоскость 2 проекция 12 проецируется в виде прямой, параллельной оси Х. Затем через точку 11 параллельно основанию пирамиды проводят линию (одну сторону сечения) и находят 11'. Далее, используя линии связи, сначала находят 12' и проводят через нее параллельно оси Х линию сечения, а затем находят на ней искомую проекцию 12.

Рис. 103. Построение проекций точек на поверхности пирамиды

(внутри очерка)

3.2.4.Пересечение пирамиды проецирующей плоскостью

иопределение вида полученного сечения

Задача 1. Даны пирамида и фронтально-проецирующая секущая плоскость α (рис. 104). Требуется построить линию пересечения секущей плоскости с поверхностью пирамиды.

Контур сечения представляет собой многоугольник, вершины которого расположены на ребрах пирамиды, а стороны — на его гра-

94

96

97

Рис. 106(а). Варианты 1–16 задания 5

3.3. Тела вращения. Сечение конуса плоскостью

Существует несколько типовых вариантов сечения конуса плоскостью (рис. 107):

1)плоскостью (α2), параллельной основанию (или перпендикулярно к оси). В сечении получается окружность (1);

2)плоскостью (β2), пересекающей все образующие поверхности конуса. В сечении получается эллипс (2);

3)плоскостью (φ2), параллельной только одной из образующих.

Всечении будет парабола (3);

4)плоскостью (γ2), параллельной двум образующим. В сечении будет гипербола (4);

5)плоскостью (σ2), проходящей через его вершину. В сечении будет треугольник (5).

Треугольник (5)

φ2

Рис. 107. Варианты сечения конуса плоскостью

3.3.1. Точки и линии на поверхности конуса

Построение точек на поверхности конуса в ортогональной проекции показано на рис. 108–111. Если на боковой поверхности конуса имеются проекции некоторых точек, то их недостающие проекции можно построить двумя способами:

99