Учебное пособие 1692

В. А. Рябцев

МЕХАНИКА

(СТАТИКА)

Учебное пособие

Воронеж 2005

Воронежский государственный технический университет

В. А. Рябцев

МЕХАНИКА

(СТАТИКА)

Утверждено Редакционно–издательским советом университета в качестве учебного пособия

ВОРОНЕЖ 2005

УДК 531.1/2

Рябцев В.А. Механика (статика): Учеб. пособие. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2005. 124 с.

В учебном пособии рассмотрены основные сведения по разделу статика твердого тела дисциплины «Механика», содержатся примеры решения задач и подборка задач для самостоятельного решения. Учебное пособие может быть рекомендовано для самостоятельного изучения соответствующих разделов и тем курса механики.

Издание соответствует требованиям Государственных стандартов высшего профессионального образования направлений 230100 «Информатика и вычислительная техника» и 280100 «Безопасность жизнедеятельности, природоустройство и защита окружающей среды», специальностям 230104 «Системы автоматизированного проектирования» и 280103 «Защита в чрезвычайных ситуациях», дисциплине «Механика» для студентов очной и очнозаочной (вечерней) форм обучения.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS WORD 97 и содержится в каталоге

«PosMehStat».

Ил. 97. Библиогр.: 6 назв.

Научный редактор д-р. техн. наук, проф. Хван Д.В.

Рецензенты: кафедра теоретической и прикладной механики Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (д-р техн. наук, проф. В.С. Семеноженков); канд. техн. наук, доцент Воропаев А.А.

Рябцев В.А., 2005 Оформление. ГОУВПО, Воронежский государственный технический университет, 2005

ВВЕДЕНИЕ

Вучебном пособии рассмотрены основные сведения по разделу статика точки и твердого тела дисциплины «Механика». Учебное пособие написано в соответствии с программой курса «Механика», утвержденной Министерством образования РФ и требованиями ГОС специальности «Системы автоматизированного проектирования» и др.

Вотличие от традиционного за основу построения пособия принят дедуктивный метод изложения. Это позволило при изложении некоторых тем существенно уменьшить объем материала и сократить время, необходимое для изучения теории. Тем самым удалось дать сразу общие методы решения различных типовых задач, с которыми будущий инженер вероятнее всего встретится в своей практической деятельности после окончания учебного заведения.

Для лучшего усвоения теоретических положений изложение каждого раздела теории сопровождается примерами решения типовых задач, выполненными сначала в алгебраическом виде, а затем в числовом. В конце каждой главы приведена подборка задач для самостоятельного решения. Учебное пособие может быть рекомендовано для самостоятельного изучения статики точки и твердого тела.

Единицы измерения приняты в соответствии с Международной системой единиц измерения (СИ).

Для дальнейшего изучения излагаемого материала в учебном пособии приведен список дополнительной литературы.

Автор будет благодарен читателям, которые сообщат на кафедру прикладной механики свои пожелания и критические замечания, которые будут учтены в дальнейшей работе по совершенствованию данного учебного пособия.

3

Глава 7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ

§ 7.1. Основные понятия

Материальной точкой называют тело сравнительно малых размеров, имеющее бесконечно малую или конечную массу. Жесткой системой материальных точек, называют такую систему (совокупность), у которой расстояния между любыми двумя точками постоянны. Частным случаем такой системы является абсолютно твердое (жесткое) тело, точки которого полностью или частично заполняют некоторую область пространства.

В природе и технике не существуют ни материальные точки, ни абсолютно твердые тела. Абстракцией «материальная точка» можно пользоваться при описании явлений, в которых формы и размеры тел несущественны, а основным является учет массы тела. Материальной точкой удобно оперировать при определении, например, импульса и кинетической энергии тела в поступательном движении и т.д. Во всех подобных случаях тело заменяется одной из точек этого тела. Обычно за эту точку принимают центр масс тела, считая, что в ней сосредоточена масса всего тела.

Абстракция «абсолютно твердое тело» используется в тех явлениях, для которых масса, форма и размеры тела существенны, но изменения формы - деформации настолько малы, что ими можно пренебречь. На такой абстракции основаны многие технические науки. Например, при определении реакций опор (противодействий) на жесткие тела в технике можно пренебречь малыми деформациями, прогибами. Но всякая абстракция по самой своей сути конкретна, так как она относится к определенному кругу явлений и не может автоматически переноситься на другие явления. Например, при изучении внутренних сил в жестких телах и изучении их прочности нужно

100

строго учитывать те малые деформации, которые можно не учитывать при определении внешних сил - реакций опор. Так поступает наука сопротивление материалов. Методами статики абсолютно твердого тела, определяют внешние силы, а затем изучают вызываемые ими внутренние силы и деформации. Поэтому, задачи сопротивления материалов, как правило, включают в себя задачи теоретической механики, в частности задачи статики.

Изолированной называют материальную точку, которая не подвержена действию других материальных точек. Это понятие также является абстракцией, так как материальная точка не может быть полностью изолирована от действия других точек, например, материальные точки создают бесконечные поля сил тяготения (гравитационные поля).

Инерциальным движением называют прямолинейное и равномерное движение точки относительно инерциальной системы отсчета.

Состоянием равновесия точки, или просто равновесием точки, называют ее состояние покоя или инерциального движения относительно инерциальной системы отсчета.

Всегда можно выбрать такую систему отсчета, относительно которой тело будет неподвижно.

Из курса физики известно, что все законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета.

§7.2. Аксиомы статики

Воснову статики положено несколько аксиом, которые получены в результате многочисленных наблюдений и научных обобщений.

101

Аксиома первая (закон инерции).

Всякая изолированная материальная точка находится в равновесии или инерциальном движении, пока какая-либо причина не выведет ее из этого состояния.

Система материальных точек находится в равновесии, если находятся в равновесии все точки системы.

Статика изучает условия равновесия точек и систем материальных точек. Поэтому в задачах статики встречаются как покоящиеся тела, так и тела, совершающее инерциальное движение.

Из первой аксиомы следует понятие силы как причины, нарушающей состояние равновесия точки или тела. Более общее определение силы следует из третьей части раздела «Теоретическая механика» - динамики, где сила, определяется как причина, изменяющая состояние покоя или движения данного тела. Откуда берутся силы? Известно, что весь окружающий нас мир, вся объективно существующая реальность, называемая материей, многообразные явления представляют собой различные процессы в движущейся материи. Материя движется, тела подвержены действию других тел и полей. Эти действия представляются как действия сил. Источниками сил являются материальные тела и различные поля. В механике, когда речь идет о «действии силы», всегда подразумевается действие одного тела на другое. В системе СИ (система интернациональная) за единицу силы принята сила, называемая ньютоном

иобозначаемая буквой Н. Подробно единицы измерения силы

исистема физических единиц будут рассмотрены в разделе динамика.

Охарактеристиках силы судят по ее действию на тело. Эквивалентными считаются те силы, которые, будучи одинаково приложенными по отдельности к одному и тому же телу, действуют на него одинаково.

Сила - величина векторная, так как действие одного тела

102

на другое существенно зависит от направления. Например, если с одной и той же по модулю силой давить сверху вниз на спинку стула, то стул останется в покое. Если же стул тянуть вверх с силой, большей его силы тяжести, то стул начнет подниматься, а если приложить силу горизонтально, то стул опрокинется при достаточной шероховатости пола. Так как во всех этих случаях действия сил разные, следовательно, и силы разные, несмотря на то, что их модули могут быть одинаковыми. Сила, приложенная к твердому телу, является несвободным вектором, поскольку ее действие зависит от точки приложения. Например, если, не меняя величины силы и ее направления, параллельного полу, потянуть стул за спинку назад, то стул опрокинется,

Рис. 7.1 а если потянуть за основание ножки непосредственно около пола, то стул будет скользить по полу.

Итак, действие силы на твердое тело определяется величиной (модулем), направлением и точкой приложения. Ниже будет показано, что сила, приложенная к абсолютно твердому телу, является скользящим вектором.

Силу, как и другие векторные величины, изображают направленным отрезком. Все действия с силами выполняются по правилам векторной алгебры.

Следует отличать векторную величину от скалярной, которая определяется только численным значением и не имеет от направления. Многие формулы и теоремы теряют всякий смысл, если векторные величины заменить скалярными ве-

личинами или наоборот. Примерами скалярных Рис. 7.2 величин или, иначе, скаляров, могут быть время, температура, масса, плотность, длина, площадь, объем и т.д. При выбранной единице измерения скалярная величина полностью определяется ее значением, например температура +10°С или -24°С. Векторы, в отличие от скаляров, обозначают

103

стрелкой сверху над символом, обозначающим вектор. На рисунке вполне допустимо рядом с изображением вектора писать обозначение его модуля, опуская стрелку, поскольку рисунок указывает на векторный характер величины.

Системой сил называют совокупность нескольких сил, приложенных к материальной точке или телу.

Аксиома первая точно никогда не выполняется, так как полностью изолированных материальных точек нет. Но опыт показывает, что с уменьшением действия других точек на данную точку ее состояние все ближе подходит к состоянию равновесия или равномерного и прямолинейного движения. Однако равновесие точки или твердого тела возможно не только в том случае, когда отсутствуют действия других тел, но и тогда, когда эти действия взаимно уравновешиваются. Например, самолет может лететь по прямой линии равномерно, т.е. находиться в равновесии под действием четырех сил: силы тяжести, силы тяги двигателя, лобового сопротивления воздуха и подъемной силы встречного потока воздуха действующего на крылья самолета.

Если точка или абсолютно твердое тело под действием системы сил находится в равновесии, то такую систему сил называют эквивалентной нулю или уравновешенной. Именно такие системы сил и рассматриваются в статике.

Простейшая уравновешенная система сил определяется второй аксиомой.

Аксиома вторая.

Абсолютно твердое тело под действием двух сил тогда и только тогда находится в равновесии, когда равны их модули, а силы направлены противоположно друг другу вдоль отрезка, соединяющего точки приложения этих сил (рис. 7.1)

104

Знак минус представляет собой сокращенное обозначе-

ние операции умножения вектора PA на - 1, равносильной из-

менению направления вектора на противоположное PA (- 1) =

- PA . Модуль силы при этом не меняется:

Аксиома третья

Действие системы сил на абсолютно твердое тело не меняется от приложения или исключения уравновешенной системы сил. Из приведенных аксиом следует теорема: сила, приложенная к абсолютно твердому телу, является вектором скользящим, т.е. не изменяя действия силы на абсолютно твердое тело, можно ее прикладывать в произвольной точке тела, расположенной на линии действия силы.

Доказательство. Эквивалентность действия сил обозна-

чают . Пусть сила PA приложена в точке А (рис. 7.2). Возь-

мем на линии действия силы PA произвольную точку В и при-

ложим к ней вдоль той же линии уравновешенную систему из

двух сил ( PB ,PB ) 0 , равных модулей: РА= РB= Р'B. Согласно второй и третьей аксиомам от присоединения этих сил дей-

вать как силу PA , но только переместившуюся по линии дей-

ствия из точки А в точку В. Теорема доказана.

Важно понять, что если даже реальное не абсолютно твердое тело при переносе силы по линии действия останется в равновесии, то таким переносом можно пользоваться в инженерных расчетах только тогда, когда определяют условия рав-

105