Учебное пособие 1692

новесия всего тела или внешние силы, действующие на тело, или систему тел. При определении внутренних сил в твердом деформируемом теле переносить точку приложения силы вдоль еѐ линии действия нельзя.

Итак: действие силы на абсолютно твердое тело определяется модулем, линией действия и направлением силы, то есть вектор силы, приложенной к абсолютно твердому телу, является скользящим вектором.

Сложением сил называют замену данной системы сил системой, эквивалентной данной системе сил.

Равнодействующей системы сил называют силу, действие которой заменяет собой действие данной системы сил. Силу, образующую с равнодействующей уравновешенную систему сил, называют уравновешивающей силой. Замену одной силы несколькими силами, в сумме равными этой силе, называют разложением данной силы на составляющие.

Аксиома четвертая (правило параллелограмма)

Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке и равна по величине и направлению диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах (рис. 7.3).

Параллелограмм на рис. 7.3 по- Рис. 7.3 строен в определенном масштабе, т. е.

выбранная единица длины соответствует единице силы. Поэтому, например, запись AB = P2 означает, что число единиц длины в отрезке AB равно числу единиц си-

лы P2: R ( P1 ,P2 ) или

но перпендикулярны, то угол = 90° и согласно теореме Пи-

Н получим R = 10 H, а не 14 H, как было бы при скалярном сложении.

Пример 7.1. Определить равнодействующую двух сил P1 = 3 H и P2 = 15 H, приложенных в одной точке и образующих между собой угол 60°. Определить углы и , образуемые равнодействующей с составляющими силами.

Решение. Эту задачу можно решить графически, строя соответствующие фигуры. Рассмотрим аналитическое решение задачи. Модуль равнодействующей R находим из OAB по теореме косинусов R2 = P12 + Р22 — 2P1P2 cos (180° - ). По формулам приведения из тригонометрии имеем: cos (180° - ) = - cos . Тогда

Пример 7.2. Разложить силу R = 24 H на две составляющие: P1 и P2 , образующие с равнодействующей углы = 45° и

= 90°.

Решение. Из (7.5) следует

Аксиома пятая (закон действия и противодействия)

Две материальные точки действуют друг на друга силами, имеющими равные модули, и направленными противоположно друг другу вдоль прямой, соединяющей эти точки. Эта аксиома распространяется на системы материальных точек, например на твердые тела (рис. 7.4),

нии, что обе силы, как в аксиоме второй, направлены по одной прямой в противоположные стороны и равны по модулю. Дело

втом, что в аксиоме второй рассматриваются только две силы, приложенные к одному телу, находящемуся в равновесии. В аксиоме пятой также рассматриваются только две силы, но эти силы приложены к разным телам, не обязательно находящимся

вравновесии. Например, аксиома пятая утверждает, что два брошенных камня, столкнувшиеся в воздухе, взаимодействуют друг на друга с равными по модулю, но противоположными по направлению силами.

Ньютон сформулировал пятую аксиому (третий закон): действие всегда равно и прямо противоположно противодей-

108

ствию, т. е. действия тел друг на друга всегда равны между собой, а их направления противоположны. Здесь следует предостеречь от неправильного понимания второй формулировки аксиомы. Например, топор, рубя дрова, остается целым, а поленья раскалываются на части; штампуемая деталь меняет свою форму, а штамп практически остается прежним и т.д. Даже при взаимодействии (ударе) двух одинаково прочных тел, например стальных шариков разных масс, оба шарика получают различные перемещения, скорости и ускорения. Следовательно, равенство действия и противодействия нельзя распространять на перемещения, скорости и ускорения тел или сохранение их целостности. Равенство действия и противодействия можно применять только для оценки силовых действий. Из аксиомы пятой следует, что силы всегда встречаются попарно, что отражает взаимодействие.

Аксиома шестая

Изменяемой системой материальных точек называют такую совокупность точек, в которой расстояния между точками системы могут изменяться.

Равновесие изменяемой системы материальных точек под действием некоторой системы сил, не нарушится, если система станет неизменяемой. Деформируемое тело является изменяемой системой материальных точек. Аксиома шестая применительно к деформируемому телу называется принципом отвердевания: если деформируемое тело находится в равновесии под действием некоторой системы сил, то равновесие тела не нарушится, если это тело станет абсолютно твердым. Из принципа отвердевания следует, что условия, необходимые и достаточные для равновесия данного абсолютно твердого тела, необходимы, но недостаточны для равновесия деформируемого тела, по форме и размерам тождественного с данным телом. Например, если тело, показанное на рис. 7.1, резиновое, то его равновесие не нарушится, если оно вдруг станет твер-

109

дым. Следует помнить, что если абсолютное твердое тело после приложения к нему сил не деформируясь приходит в состояние равновесия, то такое же деформируемое (резиновое)

сил обязательно будет деформирошироко используют в инженеротвердевания невозможно состав- и движения твердого деформи-

и реакции связей

ваемого тела называют тела, ограданного тела при любых прилосвязи делает тело несвободным.

связи, т. е. не зависящие от для стоящего на нем человека, так как препятствует его падению вниз. Для висящего на веревке

груза связью является веревка. В теоретической механике воздействие на связь не учитывается и связь считается неразрушимой. Если дано, что груз висит на нити и сила тяжести груза велика, то не должен возникать вопрос о прочности нити. В теоретической механике и твердые тела и связи не рвутся, не бьются и не ломаются. В механике определяются условия равновесия тел и определяются силы. Рассчитать на прочность и ответить на вопрос, выдержит ли связь, или какой она должна быть, чтобы выдержать данные нагрузки, - предмет другого раздела механики - сопротивления материалов.

Тела, не имеющие связей, называют свободными. Свободными можно считать, например Землю, небесные тела, самолет в полете, подводную лодку, движущуюся под водой, летящий камень и т.д. В этих примерах тела движутся под действием данных сил, и нет никаких ограничений движения, таких как стена, пол, шарнирное закрепление, канат и т.д., не зави-

110

Рис. 7.5

сящих от приложенных сил. Движение, например, подводной лодки или самолета, несмотря на сопротивление водной или воздушной среды, может происходить в любом направлении в зависимости от действующих сил. Вода для подводной лодки и воздух для летящего самолета являются средами, но не связями.

Пусть санки скользят по льду и ударяются о забор. Санки отскочат от забора, изменят свое движение, следовательно, на санки со стороны забора подействовала сила. Забор для санок в момент столкновения был связью, так как он ограничил свободу перемещения санок. Действие стола на лежащую на нем книгу можно заменить силой, направленной вверх и равной по модулю силе тяжести книги. Действия связей аналогичны действию сил, так как источниками

сил для данного тела являются другие тела. Но возникает следующий вопрос. Есть силы, не зависящие от связей, - сила тяжести, сила тяги и др. Их можно задать по величине и направлению и изобразить соответствующими векторами. Можно ли также поступать по отношению к действиям связей? В дальнейшем будет очевидным, что при решении задач и теоретических доказательствах выгодно окружать рассматриваемое тело стрелками векторов. Было бы весьма неудобно, если бы пришлось кроме векторов заданных сил рассматривать стены, углы, всякие другие опоры, не заменяя их действия векторами сил. То, что действия связей можно заменить векторами сил, возможно, покажется очевидным, но это утверждение ни отку-

111

да не выводится, его правильность оправдывается опытом, и оно носит название принципа (аксиомы) освобождения от связей: всякое несвободное тело можно, мысленно отбросив связи, рассматривать как свободное, если действия связей заменить силами - реакциями связей. Реакции связей вторичны, они возникают как противодействие другим силам. Если книга снята со стола, то исчезает и реакция стола на книгу. При этом сила тяжести книги остается прежней независимо от того, лежит книга на столе или снята с него. В отличие от таких сил, как сила тяжести, реакция связи не может вызвать движение тела. Например, книга, лежащая на столе, не может вдруг подскочить, начать движение вверх под действием только реакции стола, тогда как, если бы мы внезапно убрали изпод книги стол, то под действием силы тяжести книга начала бы падать. Книга могла бы подскочить, если бы мгновенно исчезла сила тяжести. Из изложенного материала следует необходимость разделять все силы на две категории: реакции связей и заданные силы.

Все силы, кроме реакций связей, называют заданными силами, хотя при решении задач заданные силы необязательно действительно заданы (известны). Термин «заданные силы» имеет глубокий смысл, и его происхождение может быть объяснено только в третьей части теоретической меха-

ники - динамике. Заданные силы чаще всего являются активными, т. е. силами, которые могут вызвать движения свободного тела, например сила тяжести, сила тяги, сила электрического взаимодействия и т. д. Но понятие заданные силы шире понятия активные силы. Например, сила лобового сопротивления воздуха для летящего самолета представляет собой заданную силу, потому что воздух не является для самолета связью. Однако эта сила не является активной силой, так как если не было бы силы тяги двигателя, то не возникло бы и лобовое сопротивление воздуха, и само по себе это сопротивление не может вызвать движение самолета. Учитывая изложенное вы-

112

ше, силы будем подразделять на реакции связей и на активные силы.

Одна из главных задач статики твердого тела - определение реакций связей. В зависимости от возможности априорного определения и способа определения направления реакции связи можно разделить на три группы: 1) направления реакций определяются видами связей и не зависят от других приложенных сил; 2) направления реакций частично определяются связями и зависят, кроме того, от других приложенных сил; 3) направления реакций заранее не известны и зависят от других приложенных сил.

7.3.1. Связи первой группы

К первой группе относятся гибкие связи (рис. 7.6, а). К гибким связям относят нити, веревки, тросы, цепи и пр. Такая связь может воспринимать только растягивающие ее силы и

называется односторонней. Реакции гибких связей направлены

по этим связям. Так, для груза весом P1 (рис. 7.5, а) связью яв-

ляется веревка АО, и реакция RA (сила натяжения веревки)

направлена вдоль этой веревки. В дальнейшем считается, что блок может только изменять направление силы, действующей вдоль веревки, перекинутой через блок, но не изменяет величину этой силы. Так, блок В изменяет направление силы натя-

чтобы груз P1 находился в равновесии. Веревка OBC не явля-

ется связью для груза P1 , так как она не ограничивает его пе-

ремещение. Однако, если вместо груза P2 прикрепить веревку

OBC в точке С, например, к крюку (рис. 7.5, б), то она станет

связью для груза P1 , так как теперь, какова бы ни была вели-

113

чина груза P1 , он не может удалиться от точки В больше чем на расстояние OB.

Нити являются односторонне удерживающими связями, поскольку могут воспринимать только растягивающие их силы. Если вместо растягивающей силы к нити приложить противоположно направленную силу, нить перестает быть связью.

Идеально гладкой поверхностью, для краткости называемой гладкой поверхностью, (рис. 7.6, б) называют поверхность, на которой не возникают сила трения, препятствующая скольжению другого тела по этой поверхности. Гладких поверхностей не существует. Это только очень важная для практики абстракция. Поверхности считаются гладкими и используются как в тех случаях, когда силы трения настолько малы, что ими можно пренебречь, так и в тех случаях, когда для надежности и безопасности работы конструкции или детали нельзя учитывать влияние трения. Реакция гладкой поверхности направлена по нормали (перпендикуляру) к этой поверхности. Это объясняется отсутствием сил трения.

Свободная (незакрепленная) опора на неподвижную точку или ребро двугранного угла (рис. 7.6, в) воздействует на опирающееся тело реакцией, направленной по нормали (перпендикуляру) к опирающейся поверхности в окрестности опорной точки.

Шарнирно - подвижными опорами (рис. 7.6, г) называют связи, допускающие вращение одного тела относительно другого. Одним из самых распространенных видов шарнирно - подвижных опор являются катковые опоры (катки). Такие опоры препятствует движению тела по нормали к опорной поверхности катков, поэтому реакция считается нормальной (перпендикулярной) к опорной поверхности катков. Такие опоры используются, например, для компенсации температурных изменений длин мостов.

Конструкции шарнирно - подвижных опор могут быть

114

весьма разнообразным.

В отличие от нити стержень является двусторонне удерживающей связью, поскольку может воспринимать и растягивающие и сжимающие его силы. В условиях задач теоретической механике вес стержней часто не указывается. Это означает, что стержни считаются невесомыми.

Согласно второй аксиоме статики невесомый стержень, находясь в равновесии, может действовать на соединяемые им тела только силами, направленными вдоль его оси в противоположные стороны (рис. 7.6, д).

7.3.2. Связи второй группы

К связям второй группы относится неподвижный цилиндрический шарнир (рис. 7.6, е), представляющий собой неподвижную ось - палец шарнира, вставленную с небольшим зазором в цилиндрическое отверстие в рассматриваемом теле. Зазор необходим для исключения заклинивания деталей соединения при изменении диаметров оси и отверстия при изменении температуры, а также для надежной смазки соединения.

Силой трения в осевом направлении, даже если она возникает, обычно пренебрегают и считают, что реакция цилиндрического шарнира лежит в плоскости, перпендикулярной оси шарнира и проходит через эту ось. В зависимости от действующих сил опирающееся тело может прижиматься к пальцу в разных местах, и поэтому направление реакции, находящейся в плоскости, нормальной к оси шарнира, зависит от приложенных к телу сил. Таким образом, конструкция цилиндрического шарнира определяет плоскость, в которой лежит реакция, но направление реакции в этой плоскости заранее неизвестно и зависит от приложенных к телу сил.

Разновидностью неподвижного цилиндрического шарнира является подшипник. В этом случае тело скреплено с подшипником осью или валом, которые вставляются внутрь ци-

115