Учебное пособие 733

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 1. Векторные и скалярные величины.

Линейные операции над векторами

1°. Основные определения. Величина называется скалярной, если она определяется заданием ее числового значения, и векторной, если для ее определения задается еще и ее направление.

Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину, параллельны друг другу и одинаково направлены.

Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину, параллельны и противоположно направлены.

Два вектора называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых (или на одной прямой), независимо от того направлены ли они одинаково или их направления противоположны. Если векторы лежат в одной плоскости или в плоскостях, параллельных между собой, то они называются компланарными.

Вектор, модуль которого равен нулю, называется нуль-

вектором.

Нуль-вектор не имеет направления.

Вектор, модуль которого равен единице, называется

единичным вектором.

Единичный вектор, одинаково направленный с вектором aG, называется ортом вектораa .

2°. Суммой двух векторов a и b называется вектор cG,

построенный следующим образом: перенесем начало вектора

G

b в конец вектора c и построим вектор c так, чтобы его начало совпадало с началом вектора c , а конец — с концом

вектора bG (рис. 1).

Рис. 1 Сумма векторов обладает свойствами сочетательности

Если два вектора приведены к общему началу, то их разность есть вектор, соединяющий их концы и направленный от вычитаемого к уменьшаемому (рис. 2).

если λ <0 — направления векторов противоположны.

Свойства

а) λ(μa) = (λμ)a ; б) λa = aλ ; в) λ(aG +b) = λaG +λb .

2

4°. Отношение вектора к его длине илиG модулю называется единичным вектором. Любой вектор a можно

представить с помощью единичного вектора a0 , тогоG же направления, что и вектор a , т. е. a = aG aG0 , откуда aG0 = aaG .

Сложение выполняем по правилу треугольника (рис. 4).

Модуль вектор-суммы находим по теореме Пифагора

концы.

Вектор, идущий из конца вектора - «вычитаемого» в конец вектора -«уменьшаемого», есть вектор-разность (рис. 5).

Длина вектора CB может быть найдена по теореме

Пифагора

CB = aG −bG = a2 +b2 .

РассмотримG еще один способ нахождения разности векторов aG и b .

3

Поместим начало вектора b в конец вектора aG и построим вектор - b , т. е. вектор противоположноG направленный. Поскольку под разностью двух векторов aGGи b

понимают третий вектор, равный сумме векторов a и - b , то вектор-разность находим по правилу треугольника, т. е. это

вектор идущий из начала вектора a в конец вектора - b (рис. 6).

рис. 6) равны по величине и направлению, следовательно, они равны.1.2. Дан вектор a (рис. 7). Построить векторы: а) 3 aG;

б) - 32 a .

Решение. а) Увеличиваем модуль вектора a в 3 раза, сохраняя его направление. Получаем вектор OA = 3aG(рис. 8)

б) Строим вектор OA = 23 aG, а затем поворачиваем OА

на 180°.

построить сначала вектор - a , а затем изменить его модуль в

1.3. Доказать, что в произвольном четырехугольнике вектор, соединяющий середины диагоналей, равен геометрической полусумме двух векторов, образующих противоположные стороны четырехугольника.

Решение. Построим четырехугольник и векторизуем стороны и диагонали, как показано на рис. 10. Требуется

основании правила сложения векторов вектор EF равен сумме векторов EF = ED + DA + AF .

Рис. 10

Представим векторы EF и AF через векторы сторон четырехугольника

AF = 12 ( AB + BC ).

Подставляя найденные векторы в исходное векторное равенство, получим

требовалось доказать. Аналогично доказывается и второе векторное равенство.

5

1.4. Разложить высоту DO правильной

треугольной Gпирамиды (рис. 11) по некомпланарным векторам aG, b , cG.

Рис. 11

Решение. Поскольку пирамида правильная, точка пересечения высоты DO и основания является точкой пересечения медиан основания. Используя свойство точки пересечения медиан треугольника, запишем

DO = DA + AO = −AD + 23 AM .

Поскольку, AM = 12 (AB + AC) , то

DO = −AD + 13 ( AB + AC) = −aG + 13 bG +cG.

1.5. В параллелограмме ABCD точки M,N,P,Q середины сторон (рис. 12).

Рис. 12

6

вектор R центра тяжести.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 13).

Рис. 13 Центр тяжести однородного треугольника находится в

точке М пересечения его медиан. Векторизуем стороны треугольника, как показано на рисунке и проведем медиану

выражения векторов M 2 N и NM через известные векторы

потолку на шнуре АВ и затем притянут к стенке веревкой ВС

(рис. 14).

Определить натяжение шнура и веревки, если известно, что угол α=60° , угол β=135°.

Рис. 14 G Решение. На точку В действует две силы TA , TC и P —

вес лампы. Поскольку система сил находится в равновесии, то равнодействующая этих сил равна нулю.

Построим треугольник сил. В выбранном масштабе строим вектор P (рис. 14). Через начало этого вектора проведем линиюGдействия силы TA , а через конец — линию действия силы TC . Получим треугольник А1В1С1. Векторизуем

его стороны B1C1 = TGC , C1 A1 = TGA. Модули этих сил найдем по

теореме синусов.

Для этого определим углы при вершинах треугольника.

8

По условию задачи угол при вершине А1 равен 30°, при вершине B — 45°, значит, угол при вершине C1 равен 105°.

Учитывая, что sinl05°=sin75°, по теореме синусов имеем

Рис.15

Решение. Обозначим OA = aG, OC = bG, OD = cG, тогда

OB = aG +bG, OE = aG +cG, OD = bG +cG.

Поскольку FG = OB +OE +OG , то

FG = aG +bG + aG +cG +bG +cG = 2(aG +bG +cG) = 2OF,

т. е. равнодействующая F изображается удвоенной диагональю параллелепипеда OF .

2. Разложение вектора по координатным осям

1°. Всякий вектор в пространстве можно представить как сумму трех векторов, один из которых расположен на оси Ох, второй на оси Оу и третий — на оси Oz

9