Учебное пособие 733

он ортогонален вектору

aG = 2i −k , скалярное произведение

вектора dG и вектора b = i + j + k равно 1 и проекция вектора

G

G

1

d

на вектор c = 3 j −4k равна

.

5

G

G

Решение. Из условия ортогональности векторов

d

и a

находим, что 2x-z = 0. Поскольку скалярное произведение

векторов dG и bG

равно 1, то x-y+z = 1. Проекция вектора dG

на

вектор c равна

G

cG d

=

3y −4z

=

1

.

Прcd =

G

32 +(−4)2

5

c

D =

2

0

−1

1

−1

1

=1.

0

3

−4

Dx =

0

0 −1

= −4; Dy =

2

0

−1

= −11; Dz =

2

0

0

1

−1

1

1

1

1

1

−1

1

= −8.

1

3 − 4

0

1

− 4

0

3

1

x =

D

−4

y =

Dy

−11

=11, z =

D

−8

= 8.

x

=

= 4,

=

z

=

−1

D

−1

D

−1

D

З.10.

Найти значение коэффициента α, при котором

векторы

αG

= αe + 2e

и

b = 3eG

−eG

будут взаимно

1

2

1

2

перпендикулярны, если

eG

= 1,

eG

= 4 и угол между векторами

1

2

eG и

eG равен π .

1

2

3

(eG

eG

) =

eG

eG

cos π =1 4

1

= 2; (e e ) = (e

e ) ; (e

eG ) =16.

1

2

1

2

3

2

1

2

2

1

2

2

Таким образом,

3α - 2 α +6 2-2 16=0, откуда α =20.

3.11. Найти работу, производимую силой

F = {6,1,2}

на перемещении SG

= {2,4,1}.

Решение. Составим скалярное произведение этих

векторов, тогда работа будет равна

A= F SG

=6 2+1 4+2 (-1)=14 (ед.раб.)

4. Векторное произведение

1°. Векторным произведением двух векторов aG и bG

называют вектор cG

, удовлетворяющий следующим условиям:

параллелограмма, построенного на векторах a и b ,т. е.

cG = aG b sin(aG,b).

(1)

1

1

iG

Gj

k

S =

AB × AC

=

ax

ay

az

.

(9)

2

2

b

b

y

b

x

z

Решение. Воспользуемся формулой (6)

G

G

iG

Gj

k

a

×b

=

ax

ay

az

=

bx

by

bz

4 1

G

1 3

G

3 4

G

G

G

G

=

2 5

i +

5 −1

j

+

−1 2

k =18i −16 j

+10k ,

тогда координаты векторного произведения будут

[ a×b ] = {18,-16,10}.

4.2. Вычислить площадь треугольника с вершинами

А(1 ,0,6), B(4,5,-2) и С(7,3,4).

Решение. Найдем координаты векторов AB и AC :

AB (3,5, -8), AC (6,3,-2) и воспользуемся формулой (9)

1

1

iG Gj

k

1

G

G

G

S

=

AB × AC

=

3 5 −8 =

14i −42 j

−21k =

2

2

2

6 3

−2

=

1

142 +(−42)2 +(−21)2

= 24,5.

2

23

A2 A3 = (2 +1)iG +(0 −2) Gj +(5 −1)k = 3iG −2 Gj + 4k.

Отсюда

модуль вектора

A A равен

A A =

32 +(−2)2 + 42 =

29.

2

3

2

3

б) Найдем вектор A2 A1 :

A2 A1 = (1 +1)iG +(2 −2) Gj +(0 −1)kG = 2iG −kG.

Составим векторное произведение

iG

Gj

k

= −2iG −11Gj −4kG.

A2 A1 × A2 A3 =

2 0 −1

3

−2

4

Площадь грани находим по формуле (9)

S = 1

(−2)2 +(−11)2

+(−4)2

= 1 141.

2

2

в) Вектор A1 A2

= −A2 A1 = −2iG + kG.Найдем вектор A1 A4 :

пункта 2.3

(−2)(−3) +0 3 +1 4

10

cosϕ =

=

≈ 0,766.

(−2)2 +02 +12 (−3)2 +32 + 42

170

Откуда ϕ ≈ 40°.

4.4. Найти координаты вектора

x , если известно, что

он перпендикулярен к векторам a {1,0,3},

b {-2,4,-3} и

Решение. Поскольку векторы x

и a ×b

коллинеарны,

G

G

G

iG

Gj

k

G

G

G

то

1

0 3

x

= λ( a ×b ) = λ

= λ(−12i −3 j

+ 4k ).

−2

4

−3

Зная модуль вектора x , находим λ

xG

= 39 = λ

144 +9 +16 , λ= ±3.

Острый угол между векторами x

и осью Оу будет

cos β =

−3λ

> 0,

следовательно,

λ = −3 .

G

x

Таким образом, xG = 36i +9 j −12k.

4.5. Найти площадь параллелограмма, построенного на

векторах

G

G

G

G

a

= 3m −2n и b =

5m

+ 4n , если | m |=2, | n |=3, а угол

G

π

между векторамиm

и n равен

6 .

Решение.

Площадь

параллелограмма

находим

по

формуле S

G

G

= | a

×b |. Используя распределительное свойство

векторного

произведения,

а

также

то,

что

m ×m = 0, n ×n =G

0, m ×n = −n ×m будем иметь

a ×b =

= ( 3Gm −G2n )×( 5Gm +G4n ) =G G

G G

G G

=15m×m +12(m×n) −10(n ×m) −8(n ×n) = 22(m×n).

Величина векторного произведения m×n равна

m×n =

G

G

G G

G

m

n

sin(m, n).

Отсюда S = 22 | m ×n | = 22 3 = 66 (кв.ед.).

G

G G

=

ax

ay

az

.

(1)

(a

×b)c

b

b

y

b

x

z

cx

cy

cz

2°. Свойства.

1. При перестановке сомножителей смешанное

произведение меняет знак

(aG×b) cG = −(b ×aG) cG = (aG×cG) b = −(cG×b) aG.

(2)

2. Смешанное произведение обладает свойством

(aG×b) cG =( b ×cG) aG = (cG×aG) b

(3)

3. Если два из трех векторов равны или параллельны, то

их смешанное произведение равно нулю.

3°. Смешанное произведение трех векторов численно

V = (aG×b) cG = aG b cG .

(4)

4°. Объем пирамиды,

построенной на векторах aG, b, cG

1

G

G

G

1 G

G

G

равен

V

=

(a ×b) c

=

a

b

c .

(5)

n

6

6

5°. Условие компланарности. Необходимым и

достаточным

условием

компланарности трех

векторов

aG, b

, cG является равенство нулю их смешанного произведения:

G

G

G

= 0.

a

b

c

5.1. В пространстве даны четыре точки: А (1,1,1),

В(2,4,7), С(-1,2,-3), и

D(-3,2,1). Найти объем тетраэдра ABCD

и длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины В.

Решение. Пусть А вершина тетраэдра. Найдем

координаты векторов AB, AC и AD (рис. 19): AB

= {1,3,6},

AC ={-2,1,-4},

AD ={-4,1,0}.

Объем тетраэдра находим по

формуле (5)

V =

1

1

3

6

32

−2

1

−4

=

.

6

3

−4

1

0

Рис. 19

Найдем площадь основания

1

JJJG

JJJG

1

iG

Gj

k

1

G

G

G

S =

=

−2

1

−4

=

= 69.

2

AC

× AD

2

2

4i

+16 j

+2k

−4

1

0

Поскольку h =

3V

, то h = 3 32

= 32 69 .

S

69

69

5.2. Вычислить объем треугольной призмы,

построенной

на векторах

a {1,-3,2},

b {3,1,-2},

c {2,-1,2}

и

определить

ориентацию

тройки

векторов

aG, b, cG

в

G G

G

1

−3

2

= 20.

a(b

×c) =

3

1

−2

2

−1

2

1

G G

G

V

=

a(b

×c)

=10.

np

3

5.3. Доказать компланарность векторов

a {4,3,5}, bG

{2,2,2}, c {-3,-2,-4}

aG(b ×cG) = 0. Откуда

Решение. Условие компланарности

aG(b ×cG) =

4

3

5

= 0,

2

2

2

−3

−2

−4

следовательно, векторы компланарны.

5.4. Даны векторы a

= (-1,-1,2) и

b = (1,-2,2). Найти

неизвестный вектор

x

= (x,y,z), если скалярное произведение

aG xG = -7,

вектор

c = a ×x

перпендикулярен оси Ох, а

смешанное произведение x a b = 2.

Решение.

Используя

условие a x = -7,

получим

уравнение –x – y+2z = -7

или x + y - 2 z = 7.

Воспользуемся векторным произведением

cG= aG

×xG=

iG

Gj

k

= −(z + 2 y)iG +(2x + z) Gj +(x − y)kG.

−1 −1 2

x

y

z

c

перпендикулярен оси Ох, то

Поскольку

вектор

проекция cx вектора c

на ось Ох равна 0, то есть cx =-(2y+z)=0.

Из условия xG

a b =2 имеем

x

y

z

= 2, т.е. 2x+4y+3z=2.

−1

−1

2

1

−2

2

Полученные уравнения объединим в систему

x + y −2z = 7,

2 y + z = 0,

+3z = 2.

2x + 4 y

28

1

1

−2

D = 0

2

1 =12 ≠ 0.

Dx =

7 1 − 2

= 24; Dy =

1 7 − 2

=12; Dz

=

1 1 7

= −24.

0

2

1

0

0

1

0

2

0

2

4

3

2

2

3

2

4

2

x =

24

= 2, y =

12

=1,

z =

−24

= −2.

12

12

12

x = {2,1, -2} .

Таким образом, неизвестный вектор

G

G

5.5. На векторах

aG = 2i + j −k , b = 3i −2 j + 4k и

G

построен

параллелепипед. Найти его высоту,

c

= 3i

−4k

опущенную на грань, образованную векторами a и b .

Решение. Объем параллелепипеда по формуле (4) будет

GGG

iG

Gj

k

V = (abc) =

3

−2

4

=

16 +12 −6 +12

= 34.

3

0

−4

С другой

стороны, объем равен V = S h, где S –

площадь грани, образованная векторами

a

и c .

iG

Gj

kG

G

G

G

=

S = aG×cG = 2 1 −1 = −4i

+5 j −3k

3

0

−4

= (−4)2 +52 +(−3)2 = 5 2.

Таким образом,

H = V

=

34

=17

2 .

S

5

2

5