Учебное пособие 733

aG = axi + ay j + az k

(1)

где i , j, k — единичные векторы координатных осей.

Модуль вектора a равен

aG = ax2 + ay2 + az2 .

(2)

Если через α, β, γ обозначить углы, которые вектор aG

cosα =

a

, cos β =

ay

, cosγ =

a

(3)

Gx

G

Gz

a

a

a

вектора aG через

дают выражения

направляющих

косинусов

его проекции.

Между

направляющими

косинусами

существует

зависимость

cos2 α +cos2 β +cos2 γ =1.

(4)

2°. Действия над векторами.

1. Сумма векторов

aG ±b = (a

x

±b

)i +(a

y

±b

) j +(a

z

±b

)k

.

(5)

x

y

z

2. Умножение на скаляр

λaG = λaxi +λay j +λazk .

(6)

3. а) Если A(x1, y1, z1) и B(x2, y2,

z2)

— координаты

начала и конца вектора, то проекции вектора

ax = x2 – x1, ay = y2 – y1 , az = z2 – z1 .

(7)

б) Модуль

aG =

(x

2

− x )2 +( y

2

− y )2 +(z

2

− z )2

(8)

1

1

1

в) Направляющие косинусы

cosα =

x

2

− x

; cos β =

y

2

− y

γ =

z

2

− z

(9)

G

1

G

1

; cos

G

1

a

a

a

cosα = −

2

, cos β =

3

, cosγ =

3 .

2.2. Найти

22

22

22

единичный

вектор

для вектора

G0

a

3

G

5

G

4

G

a

=

G

=

i

−

j

−

k .

5

2

2

5

2

a

2.4. Найти разность векторов a (2;4;-1),

b (4;-3;5).

Решение. По формуле (5) находим

G

G

G

G

G

G

a -

b = (2 −4)i +(4 +3) j +

(−1−5)k = −2i

+7 j

−6k .

что | bG

2.5. Определить координаты вектора b , если известно,

| = 5 , он коллинеарен вектору aG =

7i −5 j + 2k и его

направление совпадает с направлением вектора a .

Решение. Обозначим координаты вектора b через х, у z,

тG. е. G b ={x,y,z}.

Поскольку

векторы

коллинеарны,

то

b = λa

= 7λi −5λj + 2λk .

Из

равенства векторов

xi + yj + zk =

7λi −5λj +2λk

следует равенство их координат:

x = 7λ, y = −5λ, z = 2λ .

Так как

| b |

=

5 , то

по

формуле (2) имеем

12

6

6

3

треугольника ABC диагональ

G

G

= (−2

−3)i +(7

−4) j +(1 −4)k = −5i +6 j −3k .

BD = b

- a

cosα = −

5

, cos β =

6 , cosγ = −

3 .

70

70

70

Вектор BM =

1

BD = −2,5i +3 j −1,5 k .

2

Из треугольника ABM находим вектор

G

G

1 G

G

AM :

AM = a + BM =

i

+ 4 j + 2,5k .

2

13

Отсюда

вектор

AC = 2AM равен AC = iG +8 Gj +5k .

Длина диагонали

АС равна \ AC \=

12 +82 +52

=

90 , а ее

направление определяется направляющими косинусами

cosα

1

= −

1

, cos β =

8

, cosγ = −

5 .

3

10

1

3

10

3

10

следует, что cos α = cos β = cos γ =

1

.

Вектор

AB

имеет

3

проекции AB (3, - 5 , 3). Отсюда по формуле (10) находим, что

искомая проекция на ось равна Пр AB =

3 −

5 +

3 =

3 .

l

3

3

3

3

1 +

1

(−1)

1

2 +

1

4

5

3 +

1

2

11

x =

3

=

,

y =

3

=

,

z =

3

=

.

1

2

2

4

1

1

1 +

1 +

1 +

3

3

3

x =

(1 +λ)x − x1

,

y

2

=

(1 +λ) y − y1

,

z

2

=

(1 +λ)z − z1

.

2

λ

λ

λ

Подставляя данные условия, получаем

x =

3 2 −3

=1,5 ,

y

=

3 (−3) −4

= −6,5 , z

=

3 1 +1

= 2 .

2

2

2

2

2

2

3. Скалярное произведение

G

1°. Скалярным

произведением двух векторов aG и

b

aG b =

aG

cosϕ .

2°. Свойства.

b

(1)

1.

Переместительность

a b = b a .

(2)

2.

Распределительность

( aG+ b ) c = ( a c ) + ( b c ).

(3)

3.

Скалярный множитель можно выносить за знак

скалярного произведения

(λa b ) = λ( a b ).

(4)

4.

Скалярный

квадрат вектора

равен квадрату его

модуля

a a = a2.

(5)

5.

Скалярное

произведение

единичных векторов

определяется формулами

15

i i = j j = k k =1, i j = j k = k i = 0 .

(6)

aG b = a b

+ a

b

y

+ a b .

(7)

x

x

y

z

z

Угол между двумя векторами

G

aG b

axbx + ayby + azbz

2 .

(8)

cos(a

,b) = G G =

a

2

+ a

2

+ a

2

b

2

+b

2

+b

a b

x

y

z

y

x

z

Условие перпендикулярности двух векторов

axbx +ayby +azbz = 0.

(9)

cosϕ = cosα1 cosα2 +cos β1 cos β2 +cosγ1 cosγ2 .

(10)

Условие перпендикулярности двух направлений

cosα1 cosα2 +cos β1 cos β2 +cosγ1 cosγ2 = 0.

(11)

A =

F

S

cos(F, S) .

(12)

G

G

G

G

3.1. Найти скалярное произведение векторов 2 a

-3 b

и

c +4 d .

Решение. Находим (2 a -3 b ) ( c +4 d ) =

= 2 aG cG +8aG d −3b cG −12b d .

3.2. Дан ромб ABCD (рис. 17). Доказать, что его

диагонали пересекаются под прямым углом.

Решение. Векторизуем стороны и диагонали ромба,

как

показано

на

рис. 17.

Тогда

имеем

AC = AB + BC, DB = DA + AB.

Поскольку

DA = −BC ,

то

16

DB = AB − BC . Составим

скалярное

произведение

векторов AC и DB :

AC DB =( AB + BC) ( AB − BC) = ( AB)2 −(BC)2

= 0

,так как в

ромбе все стороны равны

и

AB

=

BC

.

Поскольку

G

aG b

axbx + ayby + azbz

2 =

cos(a

,b) = G G =

a

2

+ a

2

+ a

2

b

2

+b

2

+b

a b

x

y

z

y

x

z

=

2 1 +(−3)(−1) +5 3

=

20 .

22

+(−3)2 +52

12 +(−1)2 +32

418

AB (1,-2,2),

AC (-1,-1,4).

Угол между ними находим по

формуле (8)

cosA=

1(−1) +(−2)(−1) +2 4

=

2

,

A = 45D .

12 +(−2)2 +22

(−1)2 +(−1)2 +42

2

17

cosB =

(−1)(−1) +(−2)(−1) + 2 4

= 0, B = 90D ,

12

+(−2)2 + 22 (−2)2 +12 + 22

перпендикулярности векторов имеем Зх - 4у=0. Длина вектора

G

x2 + y2 .

b будет b = 9 +16 +144 =13 , а длина | a | =

Следовательно, x2 + y2 =169. Поскольку

x =

2

y, , то

3

9

5

5

Откуда aG

= ±

13

(4iG+3Gj) .

5

Решение.

Пусть вектор

nG = xi + yj + zk .

Поскольку он

перпендикулярен оси абсцисс, то

n =

n (0,y,z). Для единичного

вектора имеем

| n | = 1

=>

y2 + z2

= 1.

Из условия

перпендикулярности

векторов получим

a n = −4 y +3z = 0 ;

y =

3

z . Отсюда

9

z2 + z2 =

1, z = ±

4

,

y = ±

3

.

16

4

5

5

G

1

G

G

Таким образом, n = ±

(3 j

+ 4k ) .

5

18

3.8. Найти координаты вектора

d = xi + yj + zk ,

если

он ортогонален векторам aG = i −2 j +3k

и

G

G

b = 2i

+ 6k

скалярное произведение вектора d и

вектора

cG = i + j + 2k

Dx =

0

−2 3

=12; Dy

=

1

0

3

= 0; Dz =

1

− 2

0

= −4.

0

0

6

2

0

6

2

0

0

−1 1

2

1

−1 2

1

1

−1

Отсюда

x =

12

= −3, y =

0

= 0, z =

−4

=1.

−4

−4

−4

Таким образом, вектор d

будет d = −3i + k.

19