Методическое пособие 809

Выпуск № 2 (62), 2021 ISSN 2541-7592

Выполнив следующие математические преобразования, можно выразить продольные напряжения бетонного ядра гибридной стойки bx :

Для того чтобы выразить напряжения конструктивных элементов гибридной стойки в продольном направлении, введем:

91

Научный журнал строительства и архитектуры

Тогда искомые напряжения оболочки и ядра гибридной стойки в продольном направлении равны:

Помимо использования зависимостей (27) и (28), продольные напряжения конструктивных элементов гибридной стойки возможно вычислить и по выражениям, полученным из

Таким образом, получены зависимости работы в упругой стадии гибридной стойки, выполненной из стеклопластиковой оболочки, заполненной монолитным бетоном.

4. Оценка несущей способности гибридной стойки при воздействии сжатия. Пред-

ставленные выражения составлены согласно параметрам материалов, характерным для упругой стадии их работы, поэтому они справедливы лишь на начальном этапе нагружения стойки. В случае воздействия на стойку значительной нагрузки сжатия бетон выходит за предел упругой стадии работы, вследствие чего вычисляемые по выведенным формулам (22), (32), (33) напряжения недопустимо завышаются. К моменту превышения напряжений в бетоне величины 0,5÷0,7 Rb (призменной прочности на сжатие) модуль упругости бетона начинает изменяться по нелинейному закону по мере увеличения сжимающего усилия. Для вычисления напряжений бетона при нелинейной работе известен достаточно изученный и широко применяемый способ. В качестве рабочей диаграммы состояния бетона, определяющей связь между напряжениями и относительными деформациями, принимается упрощенная трехлинейная диаграмма по типу диаграмм Прандтля (в соответствии с СП 63.13330.2018 «Бетонные и железобетонные конструкции»).

Напряжения бетонного стержня σb в зависимости от соответствующих им некоторых относительных деформаций укорочения бетона εb определяют по формуле:

92

Выпуск № 2 (62), 2021 ISSN 2541-7592

εb0 — наибольшие продольные значения относительных деформаций бетона, зависящие от относительной влажности воздуха окружающей среды.

Продольные напряжения бетона при объемном сжатии достаточно сильно возрастают и могут серьезно превышать призменную прочность Rb. Для определения значений напряжений, при которых в условиях трехосного сжатия прочность бетона сохраняется, применяются критерии прочности бетона. Для случая трехосного сжатия бетона широко применяется критерий прочности А. А. Гвоздева для объемно сжатого бетона [4]:

где β — параметр материала.

Результаты проведенных Н. И. Карпенко экспериментально-теоретических исследований [7] и обработанные им результаты работ других исследователей показали, что параметр β не является постоянной величиной, а описывается зависимостью [8]:

где b = 0,096, a = 0,5b, f = 1 — эмпирические коэффициенты бетона.

Примечательно, что в представленной конструкции продольные напряжения оболочки всегда существенно ниже, чем соответствующие в бетоне по причине значительной разницы их площадей сечения. Поэтому несмотря на то, что бетонное ядро работает за пределом упругой стадии по нелинейному закону, оболочка в то же время работает преимущественно упруго (за исключением стадии разрушения в поперечном направлении, если оно наступает).

После вычисления параметров, характеризующих напряженно-деформируемое состояние гибридной стойки, производится оценка несущей способности гибридной стойки при воздействии сжатия. Считается, что целостность конструкции стойки при воздействии сжатия сохраняется, если выполняются условия прочности для каждого из ее элементов:

где rк,р — предельные растягивающие поперечные напряжения от равномерно распреде-

ленного давления на стенку стеклопластиковой оболочки; кx,с — предельные напряжения

при сжатии стеклопластика в продольном направлении.

Проверка прочности гибридной стойки на изгибающий момент производится как для обычной железобетонной стойки круглого сечения. При этом возможно учитывать прочностные характеристики стеклопластиковой оболочки в качестве дополнительного усиления конструкции.

Выводы. Составлена и научно обоснована расчетная модель напряженнодеформируемого состояния гибридной стойки, предназначенной для опор мостовых соору-

93

Научный журнал строительства и архитектуры

жений. Модель учитывает деформационное взаимодействие всесторонне сжатого бетонного ядра с анизотропной стеклопластиковой оболочкой. Сформулированы выражения, определяющие напряжения и относительные деформации в продольном и поперечном направлениях при сжатии гибридной стойки. Установлено, что бетонное ядро работает за пределом упругой стадии по нелинейному закону, в то время как оболочка работает преимущественно упруго, за исключением стадии разрушения в поперечном направлении, если оно наступает.

Полученные результаты способствуют разработке методики расчета для гибридных железобетонных стоек с внешними стеклопластиковыми оболочками. Данная методика позволит производить оценку несущей способности на сжатие с учетом нелинейной работы бетонного ядра, его взаимодействия с оболочкой, различных параметров стеклопластика в продольном и поперечном направлениях. Определяемые расчетные параметры характеризуют предельные состояния каждого элемента гибридной стойки, что в соответствии с требованиями современных нормативных документов обеспечивает безопасность, надежность и долговечность проектируемой конструкции.

Библиографический список

1.Александров, А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин; под ред. А. В. Александрова. — 6-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2008. — 559 с.

2.Берг, О. Я. Высокопрочный бетон / О. Я. Берг, Е. Н. Щербаков, Г. Н. Писанко; под ред. д-ра техн. наук, проф. О. Я. Берга. — М: Стройиздат, 1971. — 208 с.

3.Берг, О. Я. Физические основы теории прочности бетона и железобетона / О. Я. Берг. — М.: Госстройиздат, 1961. — 96 с.

4.Гвоздев, А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия / А. А. Гвоздев. — М.: Стройиздат, 1949. — 280 с.

5.Дробышевский, Б. А. Проблемы малого мостостроения / Б. А. Дробышевский // Транспортное строительство. — 2005. — № 11. — С. 22—24.

6.Иванов, А. Н. Совершенствование конструкции и методики расчета пролетных строений мостов с несущими элементами из композиционных материалов: автореф. дис. … канд. техн. наук: 05.23.11 / Иванов Артем Николаевич; ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный университет путей сообщения». — Новосибирск, 2015. — 22 с.

7.Карпенко, Н. И. Общиемоделимеханики железобетона / Н. И. Карпенко. — М.: Стройиздат, 1996. —

412 с.

8.Карпенко, Н. И. Составной критерий прочности бетона при объемном напряженном состоянии / Н. И. Карпенко, С. Н. Карпенко // Бетон и железобетон — взгляд в будущее: тр. III Всероссийской и II Междунар. конф. по бетону и железобетону. — 2014. —Т. IV. — С. 156—165.

9.Композиционные материалы: справочник / В. В. Васильев [и др.]; под общ. ред. В. В. Васильева, Ю. М. Тарнопольского. − М.: Машиностроение, 1990. − 510 с.

10. Кикин, А. И. Конструкции из стальных труб, заполненных бетоном / А. И. Кикин, Р. С. Санжаровский, В. А. Трулль. − М.: Стройиздат, 1974. — 145 с.

11.Лукша, Л. К. Прочность трубобетона / Л. К. Лукша. — Минск: Вышэйш. шк., 1977. — 96 с.

12.Малашкин, Ю. Н. Деформирование и разрушение бетона в условиях сложных напряженных состояний: автореф. дис. … канд. техн. наук: 05.23.01 / Юрий Николаевич Малашкин. — М., 1984. — 38 с.

13.Овчинникова, Т. С. Коррозия и антикоррозионная защита железобетонных мостовых конструкций /

Т. С. Овчинникова, А. Н. Маринин, И. Г. Овчинников // Интернет-журнал «Науковедение». — 2014. —

№5 (24). — С. 1—25. —https://naukovedenie.ru/PDF/06KO514.pdf.

14.Полимерные композиционные материалы: структура, свойства, технология / М. Л. Кербер [и др.].; под общ. ред. акад. А. А. Берлина. — 4-е изд., испр. и доп. — СПб.: Профессия, 2008. — 557 с.

15.Соловьев, Б. В. Особенности проектирования и эксплуатации железобетонных автодорожных мостов с учетом возросших нагрузок от транспорта / Б. В. Соловьев, Е. Н. Малясова // Вестник Южно-Уральского гос. ун-та. Сер.: Строительство и архитектура. — 2009. — № 35 (168). — С. 14—15.

16.Яшин, А. В. Критерии прочности и деформирования бетона при простом нагружении для различных видов напряженного состояния / А. В. Яшин // Тр. Акад. строительства и архитектуры СССР. Науч.-исслед. ин-т бетона и железобетона «НИИЖБ». Вып.39: Расчет и конструирование железобетонных конструкций (под ред. А. А. Гвоздева). — М., 1977. — С. 48—57.

17.ElGawady, M. A. Analysis of segmental piers consisted of concrete filled FRP tubes / M. A. ElGawady, H. M. Dawood // Engineering Structures. — 2012. —№ 38. — P. 142—152.

94

18. Hamrick, C. FRP bridge decks: A green double-leaf. Roads & Bridges / C. Hamrick // Roads & Bridges. — 2012. — № 3. — P. 46—51.

19. Hoffard, T. A. Fiber-reinforced polymer composites in bridges: a state-of-the-art report / T. A. Hoffard, L. J. Malvar; Naval Facilities Engineering Service Center. — Port Hueneme: NAVFAC, 2005. — 38 p. — https://archive.org/details/DTIC_ADA526493/mode/2up.

20.Kendall, D. Developmentsin FRP bridgedesign/ D. Kendall // Reinforced Plastics. — 2010. — №54(3). —

P. 38—42.

21.Potyrala, P. B. Use of fibre-reinforced polymers in bridge construction. State of the art in hybrid and allcomposite structures / Р. В. Potyrala; The Polytechnic University of Catalonia. — Barcelona, 2011. — 93 p. — https://upcommons.upc.edu/handle/2099.1/12353.

22.Watson, R. J. Field Condition Surveys of FRP Applications on Bridges / R. J. Watson // Proceedings of the Second International Conference on Durability of Fibre Reinforced Polymer (FRP) Composites for Construction, Montreal, May29—31. — Sherbrooke: Université de Sherbrooke. — 2002. — P. 597—606.

References

1.Aleksandrov, A. V. Soprotivlenie materialov / A. V. Aleksandrov, V. D. Potapov, B. P. Derzhavin; pod red. A. V. Aleksandrova. — 6-e izd., ster. — M.: Vyssh. shk., 2008. — 559 s.

2.Berg, O. Ya. Vysokoprochnyi beton / O. Ya. Berg, E. N. Shcherbakov, G. N. Pisanko; pod red. d-ra tekhn. nauk, prof. O. Ya. Berga — M: Stroiizdat, 1971. — 208 s.

3.Berg, O. Ya. Fizicheskie osnovy teorii prochnosti betona i zhelezobetona / O. Ya. Berg. — M.: Gosstroiizdat, 1961. — 96 s.

4.Gvozdev, A. A. Raschet nesushchei sposobnosti konstruktsii po metodu predel'nogo ravnovesiya / A. A. Gvozdev. — M.: Stroiizdat, 1949. — 280 s.

5.Drobyshevskii, B. A. Problemymalogomostostroeniya / B. A. Drobyshevskii // Transportnoe stroitel'stvo. — 2005. — № 11. — S. 22—24.

6.Ivanov, A. N. Sovershenstvovanie konstruktsii i metodiki rascheta proletnykh stroenii mostov s nesushchimi elementami iz kompozitsionnykh materialov: avtoref. dis. … kand. tekhn. nauk: 05.23.11 / Ivanov Artem Nikolaevich; FGBOU VPO «Sibirskii gosudarstvennyi universitet putei soobshcheniya». — Novosibirsk, 2015. — 22 s.

7.Karpenko, N. I. Obshchie modeli mekhaniki zhelezobetona / N. I. Karpenko. — M.: Stroiizdat, 1996. —

412 s.

8. Karpenko, N. I. Sostavnoi kriterii prochnosti betona pri ob'emnom napryazhennom sostoyanii / N. I. Karpenko, S. N. Karpenko // Beton i zhelezobeton — vzglyad v budushchee: tr. III Vserossiiskoi i II Mezhd. konf. po betonu i zhelezobetonu. — 2014. — T. IV. — S. 156—165.

9.Kompozitsionnye materialy: spravochnik / V. V. Vasil'ev [i dr.]; pod obshch. red. V. V. Vasil'eva, Yu. M. Tarnopol'skogo. — M.: Mashinostroenie, 1990. — 510 s.

10.Kikin, A. I. Konstruktsii iz stal'nykh trub, zapolnennykh betonom / A. I. Kikin, R. S. Sanzharovskii, V. A. Trull'. — M.: Stroiizdat, 1974. — 145 s.

11.Luksha, L. K. Prochnost' trubobetona / L. K. Luksha. — Minsk: Vysheish. shk., 1977. — 96 s.

12.Malashkin, Yu. N. Deformirovanie i razrushenie betona v usloviyakh slozhnykh napryazhennykh sostoyanii: avtoref. dis. … kand. tekhn. nauk: 05.23.01 / Yurii Nikolaevich Malashkin. — Moskva, 1984. — 38 s.

13.Ovchinnikova, T. S. Korroziya i antikorrozionnaya zashchita zhelezobetonnykh mostovykh konstruktsii / T. S. Ovchinnikova, A. N. Marinin, I. G. Ovchinnikov // Internet-zhurnal «Naukovedenie». — 2014. — № 5 (24). — S. 1—25. —https://naukovedenie.ru/PDF/06KO514.pdf.

14.Polimernye kompozitsionnye materialy: struktura, svoistva, tekhnologiya / M. L. Kerber [i dr.].; pod obshch. red. akad. A. A. Berlina. — 4-e izd., ispr. i dop. — SPb.: Professiya, 2008. — 557 s.

15.Solov'ev, B. V. Osobennosti proektirovaniya i ekspluatatsii zhelezobetonnykh avtodorozhnykh mostov s uchetom vozrosshikh nagruzok ot transporta / B. V. Solov'ev, E. N. Malyasova // Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gos. unta. Ser.: Stroitel'stvo i arkhitektura. —2009. — № 35 (168). — S. 14—15.

16.Yashin, A. V. Kriterii prochnosti i deformirovaniya betona pri prostom nagruzhenii dlya razlichnykh vidov napryazhennogo sostoyaniya / A. V. Yashin // Tr. Akad. stroitel'stva i arkhitektury SSSR. Nauch.-issled. in-t betona i zhelezobetona «NIIZhB». Vyp.39: Raschet i konstruirovaniezhelezobetonnykh konstruktsii (podred. A. A. Gvozdeva). — M., 1977. — S. 48—57.

17.ElGawady, M. A. Analysis of segmental piers consisted of concrete filled FRP tubes / M. A. ElGawady, H. M. Dawood // Engineering Structures. — 2012. — № 38. — P. 142—152.

18.Hamrick, C. FRP bridge decks: A green double-leaf. Roads & Bridges / C. Hamrick // Roads & Bridges. —

2012. — № 3. — P. 46—51.

19. Hoffard, T. A. Fiber-reinforced polymer composites in bridges: a state-of-the-art report / T. A. Hoffard, L. J. Malvar; Naval Facilities Engineering Service Center. — Port Hueneme: NAVFAC, 2005. — 38 p. — https://archive.org/details/DTIC_ADA526493/mode/2up.

95

Научный журнал строительства и архитектуры

20.Kendall, D. Developmentsin FRP bridgedesign/ D. Kendall // Reinforced Plastics. — 2010. — №54(3). —

P. 38—42.

21.Potyrala, P. B. Use of fibre-reinforced polymers in bridge construction. State of the art in hybrid and allcomposite structures / Р. В. Potyrala; The Polytechnic University of Catalonia. — Barcelona, 2011. — 93 p. — https://upcommons.upc.edu/handle/2099.1/12353.

22.Watson, R. J. Field Condition Surveys of FRP Applications on Bridges / R. J. Watson // Proceedings of the Second International Conference on Durability of Fibre Reinforced Polymer (FRP) Composites for Construction, Montreal, May29—31. — Sherbrooke: Université de Sherbrooke. — 2002.— P. 597—606.

ASSESSMENT OF THE LOAD-BEARING CAPACITY

OF REINFORCED CONCRETE RACK

WITH A COMPOSITE COVER OF A CONSTRUCTIVE ELEMENT

OF BRIDGE SUPPORTS

V. A. Shendrik1

St. Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering 1

Russia, St. Petersburg

1 PhD student of the Dept. of Roads, Bridges and Tunnels, e-mail: vicinshendrik@yandex.ru

Statement of the problem. The problem of development of a technique of calculation of the load-bearing capacity of the hybrid reinforced concrete racks intended for rack supports of bridge constructions with external composite (fiberglass) covers is explored.

Results. Theoretical dependences for identifying the stresses and relative deformations of structural elements of a hybrid rack in the longitudinal and cross directions are formulated. The resulting formulas take into consideration the joint work of a comprehensively compressed concrete core with an anisotropic fiberglass shell, but donot account for the force and environmental effects directlyon the composite shell. Conclusions. The resulting theoretical dependences of the operation of the elements of the hybrid rack enable us to develop a method for calculating the load-bearing capacity of hybridracks for the supports of bridge structures. It is suggested that the results of the research are applied in calculations of hybrid rack supports of bridge constructions with elements from composite materials.

Keywords: bridge structures, bridge piers, composite materials, fiberglass shells, hybrid structures.

ЮБИЛЕЙНЫЙ НАУЧНЫЙ ФОРУМ «РФФИ—ГФЕН: 25ЛЕТ СОТРУДНИЧЕСТВА»

15—17 июля 2021 г.

Целью проведения Форума является укрепление существующих прочных связей между научными сообществами России и Китая, а также установление новых контактов между учеными и исследователями двух стран. Мероприятие пройдет в рамках Года российско-китайского научно-технического и инновационного сотрудничества и Года науки и технологии в России.

В Форуме примут участие представители ведомств, курирующих научную сферу в обеих странах, экспертных сообществ двух стран, руководители успешных российско-китайских исследовательских проектов, проводившихся при поддержке РФФИ и ГФЕН, а также молодые ученые.

В связи с пандемией мероприятие состоится в гибридном формате: для российских спикеров — на площадке НИТУ «МИСиС», для китайских спикеров — в Государственном фонде естественных наук Китая в Пекине.

Участие в мероприятие возможно только онлайн.

Подробности и регистрация на сайте: https://misis.ru/university/events/conference/2021-06/3242.

96

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

DOI 10.36622/VSTU.2021.62.2.008

УДК 624.04:531.391.3

СПЕКТР СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ФЕРМЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОКРЫТИЯ*

М. Н. Кирсанов 1

Национальный исследовательский университет «МЭИ» 1 Россия, г. Москва

1 Д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры робототехники, мехатроники,

динамики и прочности машин, тел.: +7(495)362-73-14; e-mail: c216@ya.ru

Постановка задачи. Рассматривается схема статически определимой фермы пространственного прямоугольного покрытия. Ставится задача найти формулу зависимости нижней оценки первой частоты собственных колебаний конструкции по методу Донкерлея от числа панелей. Ферма имеет опоры по сторонам и состоит из отдельных стержневых ячеек, соединенных в пирамиды.

Результаты. Из анализа последовательности аналитических решений для первой частоты ферм с различным числом панелей методом индукции выводятся коэффициенты в искомой формуле. Общие члены последовательностей коэффициентов находятся как решения однородных рекуррентных уравнений, образованных по результатам расчетов с помощью операторов Maple. Найденные зависимости получены в виде полиномов по числу панелей. Дано сравнение аналитического решения с численным.

Выводы. Приведен алгоритм вывода аналитической оценки основной частоты колебаний пространственной конструкции в зависимости от числа панелей, массы, размеров и упругих свойств материала. Проанализирован спектр частот колебаний сооружения. Найденные зависимости могут быть использованы в задачах сейсмостойкости и оптимизации конструкции.

Ключевые слова: пространственная ферма, собственная частота, метод Донкерлея, нижняя оценка, индукция, Maple, аналитическое решение, спектр собственных частот, кратные частоты.

Введение. Расчет частот собственных колебаний строительных конструкций на практике, как правило, выполняется в стандартных пакетах, основанных на методе конечных элементов [4—6,22]. Значения собственных частот необходимы в анализе сейсмостойкости сооружений [11, 20, 21] и в условиях эксплуатации при внешних динамических воздействиях [16, 18]. Альтернативой численным методам расчета спектров частот колебаний конструкций является аналитический метод. Актуальность исследования состоит в том, что для систем с большим числом степеней свободы получить точное решение задачи определения собственных частот в общем случае не удается. Исключением является приближенное решение задачи о нижней оценке первой частоты по методу Донкерлея [14]. Среди известных решений отдельно можно выделить решения для регулярных (периодических) статически определимых стержневых систем.

© Кирсанов М. Н., 2021

* Исследование выполнено при поддержке Междисциплинарной научно-образовательной школы Московского университета «Фундаментальные и прикладные исследования космоса».

97

Научный журнал строительства и архитектуры

Проблемами существования регулярных стержневых конструкций занимались R. G. Hutchinson и N. A. Fleck [8, 9]. Известны аналитические решения для прогиба плоских ферм в зависимости от числа панелей [1—3, 10, 17, 19, 23—26], полученные методом индукции в системе компьютерной математики Maple. Задачи о колебании плоских регулярных ферм в аналитической форме решены в [12, 15].

В настоящей работе для модели статически определимой фермы пространственного покрытия [13] приведен вывод формулы зависимости первой частоты от числа панелей. В численной форме проанализированы спектры собственных частот ферм с различным числом панелей и найдены некоторые их особенности.

1. Конструкция покрытия. Ферма с квадратным основанием размером 2na×2na состоит из n2 отдельных ячеек из стержней, соединенных в пирамиды (рис. 1). Длина стороны одной ячейки 2a, высота h (рис. 2). Вертикальные шарнирно закрепленные опорные стержни расположены по всему периметру конструкции. Угловой шарнир A закреплен также двумя дополнительными горизонтальными связями так, что вместе с вертикальным стержнем в точке A образуется сферический шарнир. Угловой шарнир B закреплен вертикальным и горизонтальным стержнями (цилиндрический шарнир).

Всего конструкция содержит r = 6n2 + 6n + 3 стержня, включая 4n вертикальных опорных стоек и три дополнительные горизонтальные связи в углах A и B. Инерционные свойства сооружения моделируются сосредоточенными массами в узлах нижнего пояса решетки. Число степеней свободы рассматриваемой модели с учетом того, что смещение грузов рассматривается только по вертикали, равно N = (n – 1)2. Формулы для статического прогиба этой конструкции и распределение усилий в стержнях получены в [13]. Для расчета жесткости фермы при вычислении собственных частот воспользуемся схемой расчета усилий в стержнях, приведенной в этой работе.

Рис. 1. Ферма при n = 4 под действием сосредоточенной нагрузки

Рис. 2. Элемент (ячейка) покрытия

98

2. Метод Донкерлея определения основной частоты. Математическая модель конст-

рукции задается в системе координат с началом в узле A. В программу расчета усилий вводятся координаты шарниров решетки фермы:

ki (j 1)(n 1),i, j 1,..,n 1,

икоординаты вершин пирамид:

xk 2a(i 1) a, yk 2a( j 1) a, zk h, k i (j 1)n (n 1)2, i, j 1,..,n.

Структура соединений стержней в узлах кодируется условными векторами, содержащими номера концов соответствующих стержней. Матрица уравнений равновесия узлов размером r×r состоит из направляющих косинусов усилий в стержнях.

Формула для расчета нижней оценки первой частоты по Донкерлею имеет вид:

k 1

где k — парциальная частота. Для ее вычисления используется уравнение колебаний одно-

го из грузов системы:

mzk dk zk 0, k 1,...,N,

где dk — коэффициент жесткости конструкции, рассчитываемый по величине ее прогиба от действия вертикальной силы на узел k; zk — вертикальное смещение массы m; zk — ускоре-

ние. Отсюда получаем парциальную частоту:

k dk /m .

Для определения коэффициента жесткости используется интеграл Мора:

1

Здесь обозначено: Sα(k) — усилие в стержне α от действия единичной вертикальной силы в узле k, где расположена масса; EF — жесткость стержней; lα — длина стержня α. Суммирование в (3) ведется по всем стержням, кроме 4n вертикальных опорных стоек и трех горизонтальных стержней связей в точках A и B, которые предполагаются недеформируемыми. Согласно (2):

1

Расчеты ферм с различным числом панелей показывают, что вид этого выражения не зависит от числа панелей:

(C1a3 C2c3)/(h2EF),

99

Научный журнал строительства и архитектуры

Коэффициенты C1 и C2 зависят от n и определяются методом индукции. Последовательный расчет ферм с увеличивающимся числом панелей дает ряд коэффициентов, общие члены которых получаются как решения рекуррентных уравнений и имеют вид:

Вывод этих формул потребовал необычно большие для таких задач затраты компьютерных ресурсов и времени. При получении рекуррентного уравнения

для коэффициента C1 потребовалось рассчитать частоты ферм с числом панелей от 2 до 15. Для последовательности меньшей длины операторы Maple не выявляют рекуррентное уравнение. Символьные преобразования система Maple выполняет весьма медленно. Если для расчета нижней границы первой частоты фермы с двумя панелями по каждой стороне покрытия (одна степень свободы) потребовалось несколько секунд, то при получении результата при n=14 программа работала уже более семи часов. Заметное ускорение расчетов удалось получить за счет использования осевой симметрии конструкции и метода обратной матрицы для решения системы уравнений равновесия узлов. Метод обратной матрицы решения системы линейных уравнений оказался значительно более быстрым, чем стандартный оператор LinearSolve из пакета LinearAlgebra. В результате получена аналитическая оценка первой частоты

скоэффициентами (5).

3.Численное решение задачи о спектре собственных частот. Погрешность получен-

ного решения оценим, сравнивая его с численным решением для минимальной частоты всего спектра частот. Система дифференциальных уравнений динамики N грузов, расположенных в узлах решетки, в матричной форме имеет вид:

где Z — вектор вертикальных смещений грузов; DN — матрица жесткости; MN =mIN —

диагональная матрица инерции размером N N ; Z — вектор ускорений.

Матрица податливости BN является обратной к матрице жесткости DN и вычисляется по формуле Мора:

r 4n 3

bij S(i)S( j)l /(EF).

1

Умножая (7) на матрицу BN слева с учетом тождества Z = w2Z , задачу сводим к проблеме собственных чисел матрицы BN : BN Z = Z, где 1/(m 2) — собственное число

матрицы BN. При N > 3 эта задача решается только численно.

Для определения собственных чисел матрицы BN воспользуемся оператором Eigenvalues системы Maple. Численное решение и аналитическая оценка (6) сопоставлены на графике (рис. 3). Для примера взяты модуль упругости стали Е=2·105 МРа и площадь поперечного сечения стержней F=50 см2, массы в узлах m = 1200 кг, а = 3 м, h = 1 м. Кривые сближаются в начале графика и при увеличении числа панелей. Максимальное расхождение между двумя решениями достигает 45 %. Заметим, что оценка Донкерлея для плоских ферм дает существенно большую точность [15].

100