Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 668

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

3)cos cos 3 sin sin 3 ;

4)tg +ctg 2 tg ctg 2 ;

	3			3
5)	sin x 2 cos		x	tg x tg		x	;
		2			2

6)cos1930' cos 2530' sin1930' sin 2530' .

8.Найти cos , если cos4 sin4 18 ;

9.Известно, что tg =2 . Найти значение выражения:

	а)	sin cos	;		б)	sin2	2cos2	.
	а)	sin cos	;		б)	sin	2 cos2	.
		sin cos				sin	2 cos2
10. Известно, что sin cos				1	. Найти:
10. Известно, что sin cos				2	. Найти:
				2
а) sin cos ;	б) sin3 cos3 ;		в) sin cos .

11.Найти значение выражения sin cos , если sin cos 0,6 .

12.Найти значение выражения cos3 sin3 , если cos sin 0,2.

13.Найти значение выражения:

а) cos945 sin 495 tg1800;

14. Упростить выражения:

1)		2cos2 2			;
1)		sin 4 cos 4 sin 4			;
3)		cos2 x	cos 1,5 x ;
3)			cos 1,5 x ;
	1 sin x
5)	1 sin2 1 ctg2			;

	49		21	cos 9	.
б) 2sin		ctg

	6		4

cos sin 2

2)sin 2 cos 2 cos 2 ;

4)	sin		2			sin	2		;
4)	sin			4		sin			;
				4				4
6)		1 tg2			;
6)	1 ctg2				;

					1		2
7)	cos		cos			sin		;
7)	cos		cos			sin		;
		4		4	2

9) 1 sin cos 2 sin3 ; 2sin2 sin 1

	3
11)	cos		arcsin	, 1 1;

		2

13)											1				;
	sin arcsin
	sin arcsin
											4
15)						arctg2							;
15)	ctg					arctg2							;
			2
							1
17)	sin arctg										;
17)	sin arctg										;
									3
19)	cos2 ( 6 ) cos2 ( 4 ) ;
			sin				2sin
			sin				2sin					3
21)												3						;
21)																		;

		2cos												3 cos
		2cos												3 cos
						6
23)		2sin		2				1,5							1;
23)		2sin						1,5							1;
					4
25)			cos36 sin2 18												;
25)				cos2			18								;
				cos2			18
						tg						tg				2
27)		ctg															;
27)		ctg															;
				3						3						3
29)				2					;

		tg ctg

31) tg 45 tg(2 45 ) 2tg 2 ;

8) cos 2 cos cos3 ;
		tg2
10)				;
10)		tg4 -tg2		;
			1 sin2
12)	ctg				cos	;
12)	ctg		cos		cos	;
			cos

		arcsin	2
14)	sin			;
14)	sin			;
			3
16)	ctg (arctg 1) ;

18) cos(arctg(

3));

20) (sin cos)2 (sin cos)2 ;

		sin sin
22)			2		;
22)	1 cos cos				;
				2

24) sin2 ( 2 ) sin2 ( 2 ) 1;

26)		cos		cos	sin 2	;


	1	sin	1	sin

28)cos2 ctg2 ; sin2 tg2

30). sin2 cos2 tg2 ctg2 2 ;

32) 3sin 4cos a 2 (4sin 3cos)2 ;

						7																		2								7								2
33) cos												cos																	sin						sin									;
33) cos												cos												5					sin				5		sin									;
						5																		5									5							5
34) (tg ctg )																			2			(tg - ctg )								2					1			1
																																2												.
																																2				2			sin		2			.
																																cos							sin
			15. Вычислить:
1)	cos			2							4									sin				2				44									2) tg1800 sin 495 cos945 ;
1)	cos										4									sin								44			;						2) tg1800 sin 495 cos945 ;
									8																		8
		5sin					5				2cos											25
							5															25																				1					2

									7												14
3)									7												14					;											4)	cos					arcsin1 arcsin							;
													2																													2					2
										sin
										sin		7
																																						1 cos 25 cos50
5)												3					2arccos											2	;									1 cos 25 cos50								tg65 ;
		tg arcsin																																			6)
		tg arcsin										2																2									6)			sin50 sin 25
												2																2												sin50 sin 25
7)	cos				5					cos				4				cos						;													8) sin87 sin59 sin93 sin 61 ;
7)	cos									cos								cos						;													8) sin87 sin59 sin93 sin 61 ;
						7						7											7
9) cos2 35 cos2 25 cos2 5 ;																																					10) sin2 10 cos50cos70 ;
11) 2sin 70																					1				;												12)						1		4cos100;
11) 2sin 70															2sin10										;												12)			tg30 sin 40					4cos100;
																																																			7
13) sin											x					, если cos x 0,6 и																					14) sin x cos x , если tg x ctg x
13) sin											x					, если cos x 0,6 и																					14) sin x cos x , если tg x ctg x
									6																																										12
x								3			;																										и 0 x 2 ;
x								2			;																										и 0 x 2 ;
15) cos(x 4 ) , если cos(2 x)																																	3	;			16) sin4 x cos4 x , если
15) cos(x 4 ) , если cos(2 x)																																	5	;			sin xcos x 0,5 ;
																																	5				sin xcos x 0,5 ;
17)			sin2										cos2										, если																									4
																																					18) ctg( ) , если ctg												и
			cos											sin
																																															3

sin cos	1	ctg 1;

	2 .
	2 .

19) tg		, если cos 0,8 и 2 ;	20) ctg		, если cos 0,6	и 0		;
	2			2			2

21)tg( ) , если sin 54 ,

16.Доказать тождество:

1)	1		sin2	1;

	1 tg2
	1 tg2

				2
3)	cos				(cos sin ) ;
3)	cos				(cos sin ) ;
		4		2
5)		tg(1+cos2)=sin2 ;

7)1 cos 2 sin 2 ctg =1; 1 cos 2 sin 2

9)	1 sin 2cos		2			;
9)	1 sin 2cos					;
				4	2

11)	sin	cos					;
	4			4

13) 1 tg tg cos ; cos cos

	2cos 2 sin 4		2
15)		tg			;
15)	2cos 2 sin 4	tg			;
	2cos 2 sin 4			4
17)	sin sin3 sin5			tg3 ;
17)	cos cos3 cos5			tg3 ;
	cos cos3 cos5

, и cos 178 , 32 2 ;

2)	sin	1 cos	2	;
	cos	sin	sin
1

4) ctg tg = cos( ) ; cos sin

6)	1 2sin				2
									sin ;
						4		2
8)				sin sin 2						tg ;

		1 cos cos 2
			1 sin 2
10)							tg				;
				cos 2
									4

		2		4
12)	cos		cos		;

		3		3

14) tg tg = sin( ) ; cos cos

16) 1 cos cos 2 ctg ; sin 2 sin

18) sin6 cos6 18 (5 3cos 4 ) ;

19) sin8 cos8		1	(cos2 4 14cos 4 17) .
19) sin8 cos8			(cos2 4 14cos 4 17) .
	32
17.	Определить знак числа: а) cos				2	cos		;	б) tg	5	sin	.
17.	Определить знак числа: а) cos					cos		;	б) tg		sin	.
				3			6			4		4
18.	Сравнить: cos1,3 и cos2,3.
				84

19.В какой четверти находится точка, соответствующая числу , если sin cos 1,4 ?

20.Пусть - один из углов прямоугольного треугольника. Найти cos и

tg , если sin 21110 .

21.Доказать, что синус суммы двух внутренних углов треугольника равен синусу его третьего угла.

22.Сравните числа:

arcsin

;

arccos

;

3) arctg2

3 и

arctg3 2 .

23.

Доказать,

что

если

0, 0, 0

, то

tg tg tg tg tg tg 1.

24.Угол при вершине равнобедренного треугольника имеет тангенс, равный 22 . Найти косинус этого угла.

25.Найти период каждой из функций:

y tg2x ;

y tg

;

y tgx sin 2x tg3x cos 4x ;

y sin 2x ;

y sin

;

y cos

;

y sin

;

y cos

;

y sin

;

10) y sin

5tg

26. Решить простейшие уравнения:

sin 3x 0 ;

cos5x 1;

3)	tg6x 1;
5)	ctg7x 0 ;
7)	ctgx 2 ;

9) sin		x					1		;
9) sin									;
	9						2
11)				2x						0 ;
11)	sin			2x						0 ;
									6
			x							1;
13)	cos
13)	cos
						3			4
			x					3				1
15)	sin												;
15)	sin												;
					6				4			2
		x					3
		x					3
17)	tg											3 ;
17)	tg											3 ;
		3						4
19)												;
19)	sin x											;
								3			6
21)	sin2 x sin x 0 ;
23)	2sin cos x cos x ;
25)	sin2 xcos2 x sin xcos x 0 ;
27)	sin x cos x 2											sin x cos x ;
29)	2sin x 1 0 ;

31)	2 3tgx 6 0;

33)	3ctgx 3 0;

4) tg 2x 0 ;

6) cos2x 1;

8) cos8x 3 ;

10) tg 4 n 3 ;

12)		3x					1;
12)	tg	3x					1;
				3
14)	ctg	x		2				1;


			2		3
						5
						5				3
16)	cos		5x								;
16)	cos		5x								;
						12				2
			4x
18)	ctg									3 ;
18)	ctg									3 ;
					9
20)			2x							;
20)	cos		2x							;
					4				4

22) cos3 x cos2 x 0;

24) 2sin x cos6x sin x ;

26) 9sin x cos3x sin x ;


28)	2cos x	3 0;

30)	sin 4x	3	;
30)	sin 4x	2	;
		2
32)	2sin x 1 0 ;
34)					1;
34)	sin x cos			x	1;
			2

35)	sin2	x	cos2		x	2		;
35)	sin2	2	cos2		2	2		;
		2			2	2
		2x		2		1
37)	ctg						;
37)	ctg						;
				3		3

39)	cos x		0 ;

	sin x 1
41)		cos 2x		0	;


		2 sin x 1

	sin x
43)			3	0	;
	2cos x 1

45) 3sin x 2 ;

2 sin x 1

47) 0 ; tgx 1


49)		4x		3 0 ;
49)	ctg	4x		3 0 ;
			9

36)	sin			x								1		;


				2				6				2
38)	sin					1								1		;


				12x						4				2
40)		sin x 1						0 ;
40)		cos x						0 ;
		cos x
		sin
		sin		x
42)								4			0		;
42)			tgx 1								0		;
			tgx 1

		cos x
44)								3			0 ;
44)		2sin x 1									0 ;

46)			3	cos 2x									3		;
46)				cos 2x											;
	2											2

															2
48)	cos				2x												;
48)	cos				2x												;
									4					2
			x											4
50)		tg															.
50)		tg															.
			2				6							3

27. Решить уравнения, сводящихся к квадратным и на применение тригонометрических формул:


1)	2cos2 x 7cos x 3 0 ;		2)	2cos2 x 3sin x 0 ;
				2sin2 x 5sin x 3 0;
3)		2 sin2 x cos x 0 ;	4)
5)	cos 2x cos2 x 0;		6)	sin 2x cos x 0 ;
7)	cos10x cos8x cos6x 1 0 ;		8)	sin x sin 7x sin3x sin5x ;
9)	cos x cos3x cos5x cos7x ;		10)		sin3x sin9x sin5x sin 7x ;
11) sin x sin 2x sin3x sin 4x 0 ;			12)		cos x sin5x 0,5sin 4x ;

13) tg2 x 4tgx 5 0 ;

15) 3sin x 2cos2 x 3; 17) 2ctgx tgx 1 0;

19) cos2 x sin x 1 0 ; 21) tgx ctgx ;

23) 8cos2 2x 6sin 2x 3 0 ;

25) 8sin2 5x 6cos5x 3 0 ;

27) 1 cos x cos 2x cos3x 0 ;

29) 4cos x sin 2x ;

31) cos2 x 14 ;

33) sin2 2x sin2 x 32 ;

35) sin 2x sin x cos x 12 ;

37) sin x sin 7x sin3x sin5x ;

39) sin9x cos 4x sin8x cos5x ;

41) sin2 2x 2cos 2x 2 0 ;

43) 2sin2 3x 5sin 3x 3 0 ;

14)	2cos2 x 5sin x 4 0 ;
16)	2sin2 x 3cos x 0 ;
18)	2sin2 2x cos 2x 1;
20)	2sin2 x cos x 1 0 ;
22)	4cos2 x sin x 1;
24)	2cos2 4x 3sin2 4x 2cos 4x 0 ;
26)	sin4 8x 4cos2 8x												7	;
26)	sin4 8x 4cos2 8x													;
										16
28)	sin8x				cos7x					cos3x				sin 2x;
	sin 2x
30)	sin 2x						3sin x ;
32)	sin2 3x					3		;
32)	sin2 3x					4		;
						4
34)	sin x cos 2x ;
36)	5sin	x	cos x 3 ;
36)	5sin		cos x 3 ;
	2
38)	cos x cos3x cos5x cos7x ;
40)	cos2 x 2sin x										1	;
40)	cos2 x 2sin x											;
										4
42)	ctgx tgx								2	;


						3
44)	sin x			3	ctgx 0 .
44)	sin x		2		ctgx 0 .
			2

28. Решить однородные уравнения:
1) 2sin x 3cos x 0;	2)	4sin2 x 2sin xcos x 3;

3)		3sin2 x 4sin xcos x 5cos2 x 2;	4)	5sin3x 2cos3x 0;
5)	sin x 8cos x 0;		6)	sin2 x 0,5sin 2x 2cos2 x 0;
7)	3cos2 x 4sin xcos x sin2 x 0;		8)	5cos 2x 3sin 2x 0;
9)	cos2 x 3sin2 x 0;		10)		3cos2 x 3sin xcos x 2sin2 x 2;
11)		cos2 x 4sin2 x 2sin 2x;	12)		6sin x 7cos x 0;
13)		2sin2 x 5sin xcos x 3cos2 x 0;	14)		2sin2 x cos2 x 5sin xcos x;
15) 8sin2 x 3sin xcos x cos2 x 3;			16)		2sin 4x 3sin2 2x 1;
17)		sin 2x cos 2x 0;	18)		8sin2	x	3sin x 4 0 ;

					2
19)		sin(x 300 ) cos(x 300 ) 0;	20)		6sin2 3x sin 3x cos3x cos2 3x 2 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Тригонометрия, наряду с алгеброй и геометрией, является одним из разделов элементарной математики. Она применяется, прежде всего, для решения треугольников, а также в стериометрии и во многих приложениях физики (например, в оптике).

Предлагаемое учебное пособие позволит иностранным учащимся разобраться с основными понятиями тригонометрической теории на русском языке, сформировать и развить навыки устной и письменной речи.

Обилие формул в тригонометрии пораждает необходимость преобразований не алгебраического характера, которые носят исследовательский характер, а это ведет к развитию логического мышления.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бескин, Н.М. Задачник-практикум по тригонометрии / Бескин Н.М. /Учпедгиз. - 1962. – 156 с.

2. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский. – М.: ООО «Изд-во Астрель»: «Изд-во АСТ», 2003. – 509 с.

3. Гашков, С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях/

С. Б. Гашков. – М.: МЦНМО, 2006. – 328 с.

4. Гельфанд, И.М. Тригонометрия / И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом /МЦНМО АО «Московские учебники» /Москва. - 2002. – 193 с.

5. Гончаров, М.Д. Повторяем математику / М.Д. Гончаров, Т.Я. Элевич. – Воронеж. гос. арх.-строит. акад. – Воронеж, 1999. – 216 с.

6. Громов Ю.Ю., Тригонометрия / Громов Ю.Ю., Земской Н.А., Иванова О.Г./ ТГТУ. - 2003. – 217 с.

7. Зайцев, В.В. Элементарная математика / Зайцев В.В., Рыжков В.В., Сканави М.И./ М.: Наука. - 1967. – 306 с.

8. Иванов, О. А. Практикум по элементарной математике. Алгеброаналитические методы / О.А. Иванов. - М.: МЦНМО. – 2001. – 320 с.

9. Иванов, О.А. Элементарная математика для школьников, студентов и преподавателей / О.А. Иванов. - М.: МЦНМО. – 2009. – 383 с.

10. Крамор, В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа / В. С. Крамор. – М.: Мир и Образование. - 2011. – 416 с.

11. Литвиненко, В.Н. Практикум по решению задач школьной математики. Практикум по тригонометрии / Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г./ М.: Просвещение. - 1977. – 259 с.

12. Лурье, М.В. Тригонометрия. Техника решения задач / Лурье М.В.

/УНЦ ДО. - 2004. – 337 с.

13. Макарычев, Ю.Н. Тригонометрия. 10 класс /Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. /Просвещение. - 2001. - 61 c.

14. Нахман, А.Д. Тригонометрия / Метод. пособие/ А.Д.Нахман А.Д. / Тамбов /ТОИПКРО. - 2008. – 46 с.

15. Нахман, А.Д. Функции и их свойства. Задачи для подготовки к ЕГЭ / метод. пособие/ А.Д.Нахман А.Д ./ Тамбов/ ТОИПКРО. - 2006. – 68 с.

16. Попырин, А.В. Задачи по элементарной математике. Алгебра и тригонометрия / Попырин А.В., Савина Л.Н./ Елабуга./ Изд-во Елабужского гос. пед. уни-та. - 2005. -276 с.

17. Русско-англо-испано-французский словарь математических терминов: учебный словарь / сост.: Н.Н. Некрасова, В.В. Горяйнов, Е.С. Логвина; под ред. проф. М.В. Шитиковой; Воронежский ГАСУ. – Воронеж, 2016. – 67 с.

18. Ткачук, В.В. Математика абитуриенту /В.В.Ткачук – М: МЦНМО. - 2000. –892 с.

19. Титаренко, А.М. Математика: 9-11 классы: 6000 задач и примеров / А.М. Титаренко/ – М.: Эксмо. - 2007. – 336 с.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.5 Mб4Методическое пособие 663.pdf
#
30.04.20223.5 Mб2Методическое пособие 664.pdf
#
30.04.20223.51 Mб17Методическое пособие 665.pdf
#
30.04.20223.56 Mб10Методическое пособие 666.pdf
#
30.04.20223.65 Mб4Методическое пособие 667.pdf
#
30.04.20223.68 Mб3Методическое пособие 668.pdf
#
30.04.20223.71 Mб3Методическое пособие 669.pdf
#
30.04.2022730.62 Кб22Методическое пособие 67.doc
#
30.04.2022340.58 Кб6Методическое пособие 67.pdf
#
30.04.20223.72 Mб5Методическое пособие 670.pdf
#
30.04.20223.72 Mб8Методическое пособие 671.pdf

12)		3x					1;
12)	tg	3x					1;
				3
14)	ctg	x		2				1;


			2		3
						5
						5				3
16)	cos		5x								;
16)	cos		5x								;
						12				2
			4x
18)	ctg									3 ;
18)	ctg									3 ;
					9
20)			2x							;
20)	cos		2x							;
					4				4

12)		3x					1;
12)	tg	3x					1;
				3
14)	ctg	x		2				1;


			2		3
						5
						5				3
16)	cos		5x								;
16)	cos		5x								;
						12				2
			4x
18)	ctg									3 ;
18)	ctg									3 ;
					9
20)			2x							;
20)	cos		2x							;
					4				4

12)		3x					1;
12)	tg	3x					1;
				3
14)	ctg	x		2				1;


			2		3
						5
						5				3
16)	cos		5x								;
16)	cos		5x								;
						12				2
			4x
18)	ctg									3 ;
18)	ctg									3 ;
					9
20)			2x							;
20)	cos		2x							;
					4				4