Методическое пособие 668

Уменьшим область определения функции y

sin x до отрезка

;

.

2

2

На этом отрезке функция y

sin x строго

возрастает и принимает все значения

от 1 до 1. Таким образом, для любого числа a из отрезка

1

a

1,

существует единственный

корень

x ,

уравнения

sin x a, его

называют

арксинусом числа a и обозначают x

arcsin a (рис. 16).

Рис. 16. График функции y

;

sin x на отрезке

2

2

Определение. Арксинусом числа

a называется

угол

х, лежащий на

;

отрезке

, синус которого равен a .

2

2

arcsin a

x, если

sin x

a, где

x

,

1 a 1.

2

2

Запись x

arcsin a читается так: угол х, синус которого равен a .

Значение арксинуса можно найти по таблицам или пользуясь

калькулятором.

Функция

y

sin x

для

x

;

имеет

обратную функцию

2

2

Рис. 17. График функции y arcsin x

Функцией

у = arcsin

х называется переменная величина, лежащая на

;

, синус которой равен х.

отрезке

2

2

Свойства функции y

arcsin x :

53

3)

монотонность: функция возрастает от

до

, принимая при этом

2

2

все промежуточные значения;

4)

функция – нечетная, т.е. arcsin(

x)

arcsin x ;

5)

нули функции: arcsin x

0 при

x

0;

6)

промежутки знакопостоянства:

arcsin x 0 при x

(0;1],

arcsin x

0

при

x

[ 1; 0);

(arcsin x)

1

.

1

x2

Определение.

Арккосинусом числа a называется угол х, лежащий на

отрезке 0, ,

косинус которого равен a .

Математическая запись данного определения такова:

arccos a

x,

если

cos x a, где 0 x

, 1 a 1.

Запись x

arccos a

читается так: угол х, косинус которого равен a .

Значение арккосинуса можно найти по таблицам или пользуясь

калькулятором.

Свойства функции

y

arccos x

График функции y

arccos x показан на рис. 19.

Рис. 19.

График функции y arccos x

1)

область определения:

x

1,1 ;

2)

область значения: у = 0; ;

3) монотонность: функция убывает от

до

0 , принимая при этом

все промежуточные значения;

4)

функция не является ни четной, ни нечетной;

5)

нули функции: arccos x 0 при x 1;

6)

промежутки знакопостоянства: arccos x

0 при x [ 1;1);

(arccos x)

1

.

1

x2

6.3. Функция y

arctgx и ее график

Уменьшим

область определения

функции

y

tgx

до

интервала

;

В

этом

интервале

функция

y

tgx

монотонно

возрастает и

.

2

2

принимает все действительные значения (рис. 20).

Таким образом,

для любого числа a

;

существует

в интервале

2

2

единственный корень

x уравнения, tgx a,

который называют арктангенсом

числа a

Арктангенсом

числа

a

называется

угол

х,

лежащий в

интервале

;

,

тангенс которого равен a .

2

2

Математическая запись данного определения такова:

arctg a

x, если tgx

a, где

x

,

a

R.

2

2

Запись x

arctg a читается так: угол x,

тангенс которого равен a .

График функции

y

arctgx показан на рис. 21. Он имеет две асимптоты:

y

и

y

.

2

2

Рис. 20. График функции

y tgx

на интервале

;

2

2

4)

функция – нечетная, т.е. arctg(

x)

arctgx;

5)

функция является непериодической и ограниченной;

6)

нули функции: arctgx 0 при

x 0;

7)

промежутки

знакопостоянства:

arctgx

0 при

x

0;

,

arctgx

0 при x

; 0 ;

8) функция непрерывна и имеет производную во всей области

определения:

(arctgx)

1

.

1

x2

6.4. Функция y

arcctgx и ее график

Уменьшим область определения функции y

ctgx до интервала

0;

. В

Таким образом,

для любого

числа a

в интервале

0;

существует

единственный корень

x

уравнения

ctgx

a,

его называют арккотангенсом

числа a .

Определение. Арккотангенсом числа a называется угол x , лежащий в

интервале 0;

, котангенс которого равен a .

Математическая запись данного определения такова:

arcctg a

x, если ctgx

a,

где

0 x

, a

R.

Запись

x arcctg a читается так: угол x,

котангенс которого равен a .

График функции y

arcctgx показан на рис. 23, он имеет две асимптоты:

y 0 и y

.

(arcctgx)

1

.

1 x2

sin(arcsin x)

x

и cos(arccos x)

x при

x

[ 1;1];

tg(arc tgx)

x

и

c tg(arcc tgx)

x при x

R;

arcsin(sin x)

x при x

;

;

2

2

arccos(cos x)

x при x

0;

;

arc tg(tgx)

x при x

;

;

2

2

arcc tg(c tgx)

x при x

0; .

arcsin x

arcsin( x)

arccos x;

2

60