Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 668

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

3)	90		90 рад.				рад.;
3)	90		90 рад.				рад.;
	180			2
4)	120			120рад.			12			рад.		2		рад.;
4)	120			120рад.						рад.				рад.;
		180					18					3
5)	210			210 рад.				7		рад.
5)	210	180		210 рад.			6			рад.
		180					6
Пример. Найти градусную меру угла, равного:
1) рад;	2) рад;			3)	3	рад; 4)			2		рад; 5)		6		рад; 6)		рад.
1) рад;	2) рад;			3)		рад; 4)					рад; 5)				рад; 6)		рад.
	2			4			3					5				5

Решение.

1)рад. 180 ;

2)рад. 180 90 ; 2 2


3)	3		рад.		3180			135 ;
3)	4		рад.			4		135 ;
	4					4
4)		2		рад.			2 180		120 ;
4)				рад.					120 ;
	3					3
5)	6		рад.			6 180		216 ;
5)	5		рад.			5		216 ;
	5					5

6)рад. 180 36 . 5 5

Пример. Вычислить:

1)3sin 6 2cos 6 tg 3 ;

2)4cos 3 3ctg 4 cos 4 10tg 4 ;

3)2sin( 6 ) 3ctg( 4) 7,5tg( ) 81 cos( 23 ).

Решение.

	3sin				tg			1			3
1)			2cos				3		2				3 1,5		3 3 1,5;

		6		6		3		2			2

2)	4cos		3ctg		cos		10tg			4		1	31	2	10 1 2 3	2	10
		3		4		4			4			2		2		2

5 22 ;

3) 2sin( ) 3ctg( ) 7,5tg( ) 1 cos( 3 ) 2sin 3ctg 6 4 8 2 6 4

7,5tg 18 cos 32 2 12 31 7,5 0 18 0 1 3 2.

Пример.		Вычислить sin , tg и ctg , если cos																																						3				и							3	.
Пример.		Вычислить sin , tg и ctg , если cos																																						5				и						2		.
																																								5										2
Решение. Так как												3				,		то sin 0, тогда
Решение. Так как												2				,		то sin 0, тогда
												2

																									1					9					16				4				;
			sin								1 cos2																			9					16				4
			sin								1 cos2
																												25				25						5
			tg				sin							4			: (		3		)					4			и ctg								1				3			.
			tg														: (				)								и ctg								tg							.
							cos					5						5							3												tg			4
Ответ: sin						4		; tg					4		; ctg									3			.
Ответ: sin								; tg							; ctg												.
			5									3										4
Пример. Вычислить sin ,																		cos и c tg , если tg 3 и																												.
																																													2
Решение.			Так как							ctg								1		,			то						ctg				1			. По			условию											,
Решение.			Так как							ctg										,			то						ctg							. По			условию											,
																	tg															3															2
значит,	cos 0.									Известно,															что						1 tg2									1						,					откуда

																																										cos2
																																										cos2
cos2	1			1	, значит, cos																	1							и sin tg cos																			3	.
cos2	tg2				, значит, cos																								и sin tg cos																				.
1	tg2		10																			10																									10
Ответ:		cos							3		; sin											3				;			ctg			1		.
Ответ:		cos									; sin															;			ctg					.
			10																			10										3

Пример. Найти период у функции:

1)	y sin 2x;	2)	y cos	x	;

			3
3)	y cos x cos 4x;	4) y 4sin (x 3) 9cos x.

Решение:

1)Чтобы число T было периодом функции, должно выполняться тождество sin (2x 2T ) sin 2x, значит, 2T 2 , откуда T .

2)Аналогично 13T 2 , откуда T 6 .

3)Известно, что cos cos 12 (cos( ) cos( )), тогда

y cos x cos 4x 12 (cos(x 4x) cos(x 4x)) 12 cos 3x 12 cos 5x.

Заметим, что период у функции y cos 3x равен													T	2	,	а период у
Заметим, что период у функции y cos 3x равен													T		,	а период у
													1	3
														3
функции y cos 5x равен						T		2	. Наименьшее число, при делении которого
функции y cos 5x равен						T			. Наименьшее число, при делении которого
						2		5
								5
на T	2	и T	2		получаются целые числа,					есть число 2 . Значит, период
1	3	2		5
	3			5
данной функции T 2 .
4) Период у функции						y 4sin(x 3) равен				T	2	2 . Период функции
4) Период у функции						y 4sin(x 3) равен				T		2 . Период функции
										1	1
											1
y 9cos x		равен			T	2	2.		Тогда период исходной							функции
y 9cos x		равен			T		2.		Тогда период исходной							функции
					2

y 4sin(x 3) 9cos x не существует, так как нет такого числа, при делении которого на 2 и на 2 получились бы целые числа.

Ответ: 1) ; 2) 6 ; 3) 2 ; 4) не существует.

Пример. Определить знак произведения

sin 47 cos 254 cos383 sin( 88 ) cos( 88 ) sin 2.

Решение. Заметим, что sin 47 0, так как 47 – угол I четверти, а синус в I четверти положителен;

cos 254 0, так как 254 – угол	III четверти;
cos 383 0, так как 383 – угол	I	четверти;
sin (88) sin 88 0, так как		88– угол	I четверти, то sin 88 0,

тогда sin 88 0; cos(88) cos 88 0, так как 88– угол I четверти;

sin 2 0, так как угол, величина которого 2 радиана, является углом II четверти и синус положителен. Таким образом, в произведении два отрицательных множителя и произведение положительно.

Ответ: знак положителен.

Пример. Доказать, что если cos +cos =a и sin +sin =b , то

tg( + )=

2ab

Решение. Так как cos +cos =a

то

2cos cos

a .

Аналогично

sin +sin =2sin cos

b .

Разделив обе части второго равенства на первое, получим

2tg

Известно, что tgx

, тогда

tg( + )=

и, учитывая

1 tg2

, имеем:

tg( + )=

2ab

Пример. Найти значение sin18 и cos18 (не пользуясь таблицами).

Решение. Заметим, что sin54 =cos36 . Но по формуле трайного угла sin3x=3sin x 4sin3x выразим sin54 =sin 318 3sin18-4sin318 и по

формуле (24) cos36 =cos 2 18 1 2sin218 .

Тогда из равенства sin54=cos36 следует

3sin18 4sin318 1 2sin218 .

Или 4sin318 2sin218 3sin18+1=0 .

Пусть sin 18 =x , (где 0 x 1), тогда получим уравнение

4x3 2x2 3x 1 0 , 4x2 x 1 2x x 1 x 1 0

или x 1 4x2			2x 1 0 . Откуда x1																	1 не подходит,												так как sin18 1.
																										1
Найдем корни уравнения											4x2 2x 1 0 :												x			1						5 . Учитывая, что x 0 ,
																						1,2							4
																													4

имеем sin18 =			5 1				.
имеем sin18 =							.
		4

												1						1 2
																5					1																		1
																								16 5 1 2

cos18 = 1 sin218																																											10 2
																																					5									5 .
																16					4																5		4							5 .
																16					4																		4
					1															1

Ответ: sin18 =								5			1 , cos18 =										10 2 5 .

					4															4
Пример. Доказать, что tg2 72 ctg2 54 5.
Решение.
tg2 72 ctg2 54 tg72 ctg54 2																			ctg18 tg36 2 ctg18 tg 2 18 2
											2tg18						2					2					2									4
	ctg18																																								.
	ctg18												2									2																		2	.
									1 tg 18										1 tg 18													tg218
									1 tg 18										1 tg 18												1	tg218
Известно, что		1 tg2									1				,	тогда

										cos2
													1							1 tg2 2											1
								tg2										1,																	.
								tg2						cos2				1,												cos2					.
Используя ответ предыдущего примера, получим																																												2 1

																									4 4								2 2														5
1 tg218 2					1								2						16										5									5									5	2	.
					1														16										5									5										2
						cos218

																10			2 5				10 2 5											5 5										5 1 5				5
																10			2 5				10 2 5											5 5										5 1 5				5
																							2
Следовательно,				tg2 72 ctg2 54															4		5		2		4			5		5		,					что					и			требовалось


																				2								4
доказать.
Пример. Доказать, что если x tg10 ,																									y tg25 ,							z tg55 , то

xy yz xz 1.

Решение.

xy yz xz (x z) y zx (tg10 +tg55 )tg25 +tg55 tg10 =

sin 10 55		sin25	sin55 sin10
cos10 cos55		cos25	cos55 cos10
	45

sin65 sin25

sin55 sin10

sin25

sin55 sin10

cos10 cos55 cos(90 650 )

cos10 cos55

sin25+sin55sin10

sin25+

cos45 cos65

cos10cos55

cos45+cos65

2sin25 +cos45 sin25

sin25 +cos45

cos45 +sin25

что и требовалось доказать. (Воспользовались формулами (46), (41) и формулами приведения).

Пример. Доказать, что если 7sin =sin 2 , то 3tg 4tg .

Решение.

7sin =6sin +sin =sin 2 ,

или		6sin =sin 2 sin =2sin cos .
		6sin =sin 2 sin =2sin cos .				(*)
С другой стороны,
			7sin =8sin sin ,
или		8sin =sin 2		sin 2sin cos .
		8sin =sin 2		sin 2sin cos .		(**)
Разделив обе части (*) на (), получим
			8sin		2sin cos

			6sin		2sincos
или	4	tg ctg , откуда 3tg 4tg .
или	3	tg ctg , откуда 3tg 4tg .
	3

Пример. Доказать тождество cos +sin tg 45 , где cos -sin

45 180 n .

Решение.

Способ 1

Применяя формулы приведения, преобразуем левую часть:

cos +sin	sin 90	sin	2sin45 cos 45	ctg 45
cos sin	sin 90	sin	2cos45 sin 45

tg 90 45 tg 45 .

Замечание. Решение

относительно

упрощается при

замене

cos на

sin 90 .

Способ 2

Если

использовать

формулу

asin x bcos x

a2 b2

sin(x )

введением вспомогательного угла, то т.к.

a2 b2

12 12

2 получим

cos

sin

cos +sin

sin45 cos cos 45 sin

cos sin

sin45 cos cos 45 sin

cos

sin

sin 450

=tg 45 .

sin 450

cos 900 (450

cos 450

)

Способ 3

Разделим числитель и знаменатель данной дроби на cos 0 :

cos +sin	1	tg	tg45 +tg	tg 45 .

cos -sin	1	tg	1 tg45 tg

Способ 4

Преобразуем правую часть данного тождества:


tg 45	sin 45						sin45cos +cos45sin
					cos 45			cos45cos -sin45sin

			2			cos +sin
		2				cos +sin			cos +sin
		2							cos +sin	.
										.
				2		cos -sin			cos sin
				2
	2
	2

Способ 5

tg 45	tg45+tg	1	tg	cos 1	tg	cos +sin	.
	1 tg45tg		tg	cos 1	tg
		1				cos sin

Пример. Упростить cos2 ctg2 . sin2 tg2

Решение. Упростим числитель дроби:

cos2 ctg2 ctg2 (sin2 1) ctg2 cos2 ;

Упростим знаменатель:

sin2 tg2 tg2		(cos2 1) tg2 sin2 .
Следовательно,
	cos2 ctg2		ctg2	cos2	ctg6	.
	sin2 tg2		tg2	sin2

Ответ: ctg6 .

Пример. Привести к тригонометрической функции острого угла:

1) sin 1915 ; 2) cos 1915 ; 3) cos( 2002 ); 4) tg( 2002 ); 5) ctg 27,3 .

Решение.

1)sin 1915 sin 5 360 115 sin 115 sin(90 25 ) cos 25 (период синуса 2 , или 360 ).

2)cos 1915 cos 115 cos(90 25) sin 25(период косинуса также равен 2 , или 360 ).

3)cos( 2002 ) cos(2002 ) cos(5 360 202 ) cos 202 cos(180 22 )

cos 22 .

4)tg( 2002 ) tg 2002 tg(5 360 202 ) tg 202 tg(180 22 )

tg 22 .

5)ctg 27,3 ctg(27 0,3 ) ctg(0,3 ) tg(0,5 0,2 ) tg 0,2 .

Ответ: 1) cos 25; 2) sin 25;

3) cos 22;

4) tg 22; 5) tg 0,2.

Пример. Вычислить без таблиц:

1) sin 75 sin 15;

2) cos 20 cos 40 ;

3) sin 10 sin 50 sin 70 .

Решение.

1) Так как sin 75 sin(90 15) cos 15, то

sin 75 sin 15 cos15 sin 15

(2cos15 sin 15 )

sin(2 15 )

sin 30

2) cos 20 cos 40 cos 80

(2sin 20 cos 20 )cos 40 cos 80

2sin 20

sin 40 cos 40 cos 80

(2sin 40 cos 40 ) cos 80

2sin 20

4sin 20

sin 80 cos 80

(2sin 80cos 80 )

sin 160

4sin 20

8sin 20

sin(180 20 )

sin 20

8sin 20

3) sin 10 sin 50 sin 70 sin(90 80) sin(90 40) sin(90 20)

cos 80 cos 40 cos 20 18 . (см. предыдущий пример)

Ответ: 1) 14 ; 2) 18 ; 3) 18 .

Пример. Найти sin4 cos4 , если tg 2 2.

Решение.

sin4 cos4 (cos4 sin4 ) (cos2 sin2 ) (cos2 sin2 )cos 2 1 cos 2.

	1 tg	2		1 4
Далее находим cos	1 tg		2	1 4				3	, тогда
Далее находим cos		2		1 4					, тогда
	1 tg	2		1 4			5
	1 tg		2
			2
		2					3 2				18		7
cos 2=2cos			1 2							1		1		,
cos 2=2cos			1 2							1		1		,
							5				25		25
значит, sin4 cos4 cos 2					7	.
значит, sin4 cos4 cos 2				25		.
				25


	Ответ:		7	.
	Ответ:			.
		25
	Пример. Доказать тождество:
1)	3	4cos 2 cos 4			ctg4 ;	2) sin6 x+cos6 x 1	3	sin2	2x.
1)	3	4cos 2 cos 4			ctg4 ;	2) sin6 x+cos6 x 1	4	sin2	2x.
	3	4cos 2 cos 4					4

Решение.

1) Упростим числитель дроби:

3 4cos 2 cos 4 (4 4cos 2 ) (1 cos 4 ) 4(1 cos 2 ) 2sin2 2

4 2cos2 2(sin 2 )2 8cos2 2(2sin cos )2 8cos2 8sin2 cos2

8cos2 (1 sin2 ) 8cos2 cos2 8cos4 .

Аналогично упростим знаменатель дроби:

3 4cos 2 cos 4 (4 4cos 2 ) (1 cos 4 ) 4(1 cos 2 ) 2sin2 28sin2 8sin2 cos2 8sin2 (1 cos2 ) 8sin2 sin2 8sin4 .

Следовательно,	3 4cos 2 cos 4				8cos4	ctg4 .
	3 4cos	2 cos 4			8sin4

2) Упростим левую часть тождества, применяя формулу
		a3 b3 (a b)3 3ab(a b) :
sin6 x cos6 x (sin2 x)3 (cos2 x)3			(cos2 x cos2 x)3 3sin2					x cos2 x(sin2 x
cos2 x) 1 sin2 x cos2		x 1 1	3	(4sin2 x cos2 x) 1			3	(2sin x cos x)2
			4				4

1 34 sin2 2x, что и требовалось доказать.

Пример. Сравнить sin 9 и sin 10.
Решение.	Идея решения заключается в							рассмотрении	разности
sin 10 sin 9 и использовании формулы (43) для разности синусов:
sin 10 sin 9 2sin		10 9	cos	10 9		2sin 0,5 cos 9,5.
sin 10 sin 9 2sin		2	cos			2sin 0,5 cos 9,5.
		2			2
Так как угол 0,5	находится в I				0 0,5				Остается
Так как угол 0,5	находится в I	четверти			0 0,5			, то sin 0,5 0.	Остается
							2
выяснить, в какой четверти находится угол					9,5. Заметим, что 3 9,5 3 ,
									2
		50

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.5 Mб4Методическое пособие 663.pdf
#
30.04.20223.5 Mб2Методическое пособие 664.pdf
#
30.04.20223.51 Mб17Методическое пособие 665.pdf
#
30.04.20223.56 Mб10Методическое пособие 666.pdf
#
30.04.20223.65 Mб4Методическое пособие 667.pdf
#
30.04.20223.68 Mб3Методическое пособие 668.pdf
#
30.04.20223.71 Mб3Методическое пособие 669.pdf
#
30.04.2022730.62 Кб22Методическое пособие 67.doc
#
30.04.2022340.58 Кб6Методическое пособие 67.pdf
#
30.04.20223.72 Mб5Методическое пособие 670.pdf
#
30.04.20223.72 Mб8Методическое пособие 671.pdf