Методическое пособие 668

sin2

cos2

1;

tg ctg

1;

ctg

cos

;

tg

sin

;

sin

cos

1

tg2

1

;

1

ctg2

1

;

cos2

sin2

1

cosec ;

1

sec .

sin

cos

2. Формулы сложения

sin(

)

sin

cos

cos

sin

;

cos(

)

cos

cos

sin

sin

;

sin(

)

sin

cos

cos

sin

;

cos(

)

cos

cos

sin

sin

;

tg

tg

tg

tg

tg(

)

;

tg(

)

.

1

tg

tg

1

tg tg

tg2

2tg

;

1 tg2

sin 3 3sin 4sin3 ;

cos3 4cos3 3cos .

sin2

1

cos

; cos2

1

cos

;

2

2

2

2

tg

sin

1

cos

.

2

1 cos

sin

2tg

1

tg 2

sin

2

;

cos

2

;

1

tg 2

1

tg 2

2

2

2tg

1

tg 2

tg

2

;

ctg

2

.

tg 2

1

2tg

2

2

sin

sin

2sin

cos

;

2

2

cos

cos

2cos

cos

;

2

2

sin

sin

2sin

cos

;

2

2

cos

cos

2sin

sin

;

2

2

tg

tg

sin(

)

;

tg

tg

sin(

)

.

cos cos

cos

cos

asin

bcos

a2

b2 sin(

),

где sin

b

,

cos

a

.

a2

b2

a2

b2

7.

Формулы преобразования произведения в сумму

2sin

sin

cos(

)

cos(

);

2cos

cos

cos(

)

cos(

);

2sin

cos

sin(

)

sin(

).

8. Обратные тригонометрические функции

Арксинусом числа a , называют такое число , синус которого равен a

1 a 1,

2

2

.

,

sin

.

Например,

arcsin

2

так как

2

и

2

4

4

2

2

4

2

Арккосинусом числа a , называют такое число

, косинус которого

равен a 1 a 1,

0

.

cos

0

Например,

arccos

3

,

так как

3

и

.

2

6

6

2

6

Арктангенсом числа a , называют такое число

, тангенс которого равен

a

a R,

2

2

.

.

Например,

arctg

3

,

так как

tg

3 и

3

3

2

3

2

Арккотангенсом числа a , называют такое число , котангенс которого

равен a a R,

0 .

Например,

arcctg1

и

0

.

, так как ctg

1

4

4

4

9. Формулы, связанные с arc-функциями

arcsin x

arccos x

;

arctgx

arcctgx

;

2

2

arcsin(

x)

arcsin x;

arccos(

x)

arccos x;

arctg(

x)

arctgx;

arcctg( x)

arcctgx;

sin arcsinx

x;

cos arccosx

x;

arcsin(sin x) x,

x

;

;

arccos(cosx)

x,

x

0;

;

2

2

tg arctgx

x;

arctg(tgx)

x;

ctg arcctgx

x;

arcctg(ctgx)

x;

x 0;1 ;

arcsin x arccos

1 x2 ,

arccos x arcsin

1 x2 ,

arcctgx arctg

1

,

x

(0;

).

x

10. Тригонометрические уравнения

sinx

a

a

1 :

x

(

1)k arcsin a

2

k

arcsin a

2

k,

k

Z;

arcsin a

2

k,

cos x

a

a

1 :

x

arccos a

2

k

k

Z;

tgx

a

(a

R)

x

arctga

k,

k

Z;

ctgx

a

(a

R)

x

arcctga

k,

k

Z.

В частных случаях при a

0,

a

1,

a

1 решения уравнений имеют

следующий вид:

sin x

0

x

k,;

k

Z;

cos x

0

x

k,

k

Z;

2

tgx

0

x

k,;

k

Z;

ctgx

0

x

k,

k

Z;

2

sinx

1

x

2 k,

k

Z;

sin x

1

x

2

k,

k

Z;

2

2

cos x

1

x

2 k,

k

Z;

cos x

1

x

2

k,

k

Z;

tgx 1

x

k, k Z;

tgx

1

x

k, k Z;

4

4

ctgx

1

x

k,

k

Z;

ctgx

1

x

k,

k

Z.

4

4

11. Производная от тригонометрических функций

sin x

cos x;

cos x

sin x;

tgx

1

;

c tgx

1

;

cos2 x

sin2 x

arcsinx

1

;

arccosx

1

;

1

x2

1

x2

arctgx

1

;

arcctgx

1

.

1

x2

1 x2

94

12. Первообразная от тригонометрических функций

sin xdx

cos x

C;

cos xdx

sin x

C;

dx

tgx

C;

dx

ctgx

C;

cos2 x

sin2 x

dx

arcsin x

C

arccos x C;

dx

arctgx

C

arcctgx C;

1 x2

1 x2

tgxdx

C;

c tgxdx

sin x

C.

ln

cos x

ln