5.Формирование векторов целевых функций и матриц конфигурации
выполняется для двух вариантов расчёта I и II:
при |
s = 2: |
lT(s) |
при |
s = 7: |
lT(s) |
=20 19
=8 7 4 6 4 6 4
Соответствующие матрицы конфигураций G размерности nxs состоят из нулей и единиц:
Вариант I (s = 2)Вариант II |
(s = 7) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
G = |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(nxs) |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
После формирования исходных данных в виде матриц А, G и векторов FT, lT необходимо прейти к совместному решению задач линейного программирования (7), (8), которое выполняется симплекс - методом численно.
2.3. Расчёт на ПЭВМ и графическое представление результатов
Численное решение задач линейного программирования (7) и (8) выполняется с использованием R-OPTIM - программы расчетов в программной среде инженерных и научных расчетов MATLAB. На рис. 13 представлен исполняемый код и исходные данные для программы расчётов рамы на стадии пластиче-
ского разрушения. Жирным шрифтом выделены исходные данные: матрицы А, G и векторы FT, lT.
22
R-OPTIM
% ОПТИМИЗАЦИЯ ПЛАСТИЧЕСКОЙ РАМЫ
K = 6; %- СТЕПЕНЬ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ; N = 15; %- ЧИСЛО РАСЧЁТНЫХ СЕЧЕНИЙ;
M = 9; %- ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ;
MD = 0; %- МИНИМАЛЬНЫЙ ДОПУСТИМЫЙ ПРЕДЕЛЬНЫЙ МОМЕНТ; S = 2; S = 7; %- ЧИСЛО ОПТИМИЗИРУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ
% МАТРИЦА УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ (РАЗМЕР M X N)
A = [0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0; 0 0 0 0 -1/4 -3/4 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/2 0 -3/4 0 0 0;
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 1/4 -1/4 0 0 0 0 -1/4 -1/4 0 0 0 0 0 0 -1/4 -1/2 1/4 0 0 0 0 1/4 1/4 0 -1/4 0 0 -1/4 -1/4];
F = [0; 0; 0; -12; 20; 18; 20; -15; 35]; % ВЕКТОР НАГРУЗОК (РАЗМЕР N)
IF ЧИСЛО ОПТИМИЗИРУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ S == 2 ВАРИАНТ I
% ВАРИАНТ С ДВУМЯ ОПТИМИЗИРУЕМЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (S = 2)
LZ = [20; 19]; % ВЕКТОР КОЭФФИЦИЕНТОВ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ (РАЗМЕРS)
% МАТРИЦА КОНФИГУРАЦИИ КОНСТРУКЦИИ (РАЗМЕР N X S)
G = [1 0; 1 0; 1 0; 0 1; 0 1; 0 1; 0 1; 1 0; 1 0; 0 1; 1 0; 0 1; 0 1; 1 0; 1 0];
ELSE
% ВАРИАНТ С СЕМЬЮ ОПТИМИЗИРУЕМЫМИ ПАРАМЕТРАМИ (S = 7)
LZ = [8; 7; 4; 6; 4; 6; 4]; % ВЕКТОР КОЭФФИЦИЕНТОВ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
% МАТРИЦА КОНФИГУРАЦИИ КОНСТРУКЦИИ (РАЗМЕР N X S)
G = [1 0 0 0 0 0 0; 1 0 0 0 0 0 0; 1 0 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0 0;
0 1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0 0; 0 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0 0 1];
END
E = EYE(N); AO = ZEROS(M,S); % ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
% ---------------- СТАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ------------------
% ОБЩЕЕ ЧИСЛО ПЕРЕМЕННЫХ S+N
F = [LZ; ZEROS(N,1)]; AB = -[G -E; G E]; B = ZEROS(2*N,1); AEQ = [AO A]; BEQ = F;
LB = [MD*ONES(S,1); -INF*ONES(N,1)]; % ВЕКТОР НИЖНИХ ГРАНИЦ ПЕРЕМЕННЫХ
OPTIONS = OPTIMSET('LARGESCALE','OFF');
[XS,FVALS,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(F,AB,B,AEQ,BEQ,LB,[],[],OPTIONS);
%---------------- КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ---------------
%ОБЩЕЕ ЧИСЛО ПЕРЕМЕННЫХ 2*N+M
F = -[ZEROS(2*N,1); F]; AB = [G' G' ZEROS(S,M)]; B = LZ; AEQ = [E -E -A']; BEQ =ZEROS(N,1);
LB = [ZEROS(2*N,1); -INF*ONES(M,1)]; % ВЕКТОР НИЖНИХ ГРАНИЦ ПЕРЕМЕННЫХ
OPTIONS = OPTIMSET('LARGESCALE','OFF');
[XK,FVALK,EXITFLAG,OUTPUT] = LINPROG(F,AB,B,AEQ,BEQ,LB,[],[],OPTIONS);
% ВЫВОД РЕЗУЛЬТАТОВ
DISP([' ДАТА:' DATE])
DISP('___ОПТИМИЗАЦИЯ РАМЫ В СТАДИИ ПЛАСТИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ__________') DISP(['ЧИСЛО ОПТИМИЗИРУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ: ', NUM2STR(S)])
DISP(' СТАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ') DISP(['ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ: ', NUM2STR(FVALS)])
DISP('--- ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ ----')
FPRINTF(1,'%7D',1:S), FPRINTF(1,'%S\N',' ') FPRINTF(1,'%7.2F',XS(1:S)'), FPRINTF(1,'%S\N',' ')
DISP('--- ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ В СТАДИИ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ---')
FPRINTF(1,'%7D',1:N), FPRINTF(1,'%S\N',' ') FPRINTF(1,'%7.2F',XS(S+1:N0+N)'), FPRINTF(1,'%S\N',' ')
23
FPRINTF(1,'%S\N','_______________________________________________________________'
)
DISP(' |
КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ') |
DISP(['ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ: ', NUM2STR(FVALK)]) |
|
DISP('--- ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СКОРОСТЕЙ УГЛОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ----') |
|
FPRINTF(1,'%7D',1:N), FPRINTF(1,'%S\N',' ') |
|
FPRINTF(1,'%7.2F',XK(1:N)'), FPRINTF(1,'%S\N',' ') |
|
DISP('--- ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СКОРОСТЕЙ УГЛОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ----')
FPRINTF(1,'%7D',1:N), FPRINTF(1,'%S\N',' ') FPRINTF(1,'%7.2F',XK(N+1:2*N)'), FPRINTF(1,'%S\N',' ')
DISP('--- СКОРОСТИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ УЗЛОВ В СТАДИИ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ---')
FPRINTF(1,'%7D',1:M), FPRINTF(1,'%S\N',' ') FPRINTF(1,'%7.2F',XK(2*N+1:2*N+M)'), FPRINTF(1,'%S\N',' ')
FPRINTF(1,'%S\N','_______________________________________________________________'
)
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
___ОПТИМИЗАЦИЯ РАМЫ В СТАДИИ ПЛАСТИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ__________ |
|
|
|
|
||||||||||
ЧИСЛО ОПТИМИЗИРУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ: S == 7 ВАРИАНТ II |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
СТАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ: 645.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
--- ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ ---- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
11.00 |
29.80 |
19.60 |
14.40 |
34.00 |
0.00 |
|
12.00 |
|
|
|
|
|
||
--- ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ В СТАДИИ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ --- |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-11.00 -11.00 9.80 |
20.00 -29.80 -29.80 -19.60 19.60 19.60 14.40 -34.00 - |
|||||||||||||
14.40 -0.00 -12.00 -12.00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
_______________________________________________________________ |
|
|
||||||||||||
|
|
КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ: -645.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
--- ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СКОРОСТЕЙ УГЛОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ---- |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.00 |
-0.00 |
|
0.00 |
-0.00 |
0.00 |
0.00 |
|
0.00 |
2.12 |
1.88 |
1.28 |
-0.00 |
-0.00 |
|
0.25 |
-0.00 |
0.00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
--- ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СКОРОСТЕЙ УГЛОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ---- |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.13 |
5.87 |
|
-0.00 |
0.00 |
4.56 |
2.44 |
|
0.00 |
-0.00 |
-0.00 |
0.00 |
4.00 |
4.72 |
|
0.001.87 2.13
--- СКОРОСТИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ УЗЛОВ В СТАДИИ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ---
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
-3.75 |
-1.63 |
-1.87 |
0.25 |
3.25 |
6.30 |
3.75 |
|
-6.50 8.50 |
_______________________________________________________________
___ОПТИМИЗАЦИЯ РАМЫ В СТАДИИ ПЛАСТИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ__________
ЧИСЛО ОПТИМИЗИРУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ: 2
СТАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ: 885.7143
---ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ ----
1 2
17.1428.57
---ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ В СТАДИИ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ ---
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-15.89 -17.14 |
8.57 20.00 -28.57 -28.57 -17.14 |
17.14 |
17.14 |
-0.00 -17.14 - |
||||||||
24.00 |
1.94 -13.94 -15.89 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
_______________________________________________________________
24
|
|
КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ЗНАЧЕНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ: -885.7143 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
--- ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СКОРОСТЕЙ УГЛОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ---- |
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.00 |
0.00 |
-0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
|
0.00 |
3.14 |
8.43 |
0.00 |
-0.00 |
0.00 |
|
0.000.00 0.00
--- ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СКОРОСТЕЙ УГЛОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ---- |
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.00 |
8.43 |
-0.00 |
0.00 |
11.07 |
7.93 |
0.00 |
|
0.00 |
-0.00 |
-0.00 |
0.00 |
0.00 |
0.000.00 0.00
--- СКОРОСТИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ УЗЛОВ В СТАДИИ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ |
--- |
|
|||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
-8.43 |
-5.29 |
0.00 |
0.00 |
10.57 |
0.00 |
|
8.43 -33.71 |
0.00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13. Исполняемый код программы R-OPTIM с исходными данными и результатами расчетов на ПЭВМ
Для двух вариантов задания I и II, которые отличаются как числом оптимизируемых параметров s = 2 и s = 7, так и соответствующими векторами lT(s) и матрицами G (nxs), по результатам представленных в листинге численных расчетов на ПЭВМ (рис. 13) строятся следующие эпюры:
-оптимальные предельные моменты М (рис. 14 а, б);
-изгибающие моменты в стадии предельного равновесия Мо (рис.16 а, б). Деформированное состояние на рис. 15 а, б изображается схематично как
предполагаемое, т.е. не по фактическим деформациям, а по их скоростям, расчетные значения которых распечатаны в строках «Скорости перемещений узлов в стадии предельного равновесия». При этом оно по форме соответствует рис. 11 и рис. 12, а по направлениям и значениям перемещений узлов – согласуется с полученными численными значениями скоростей деформаций.
а) Вариант I (s = 2) М |
б) Вариант II (s = 7) |
М |
Рис. 14. Эпюры оптимальных предельных моментов
25