Методическое пособие 398

Произвольный вектор x L разложим по старому и новому базисам:

старые и новые координаты вектора x . Связь между старыми и новыми координатами выражается равенством:

Примеры решения задач

Пример 1. Найдите координаты вектора x (1, 3,1) в

базисе e1 (1,0,0) , e2 (1,1,0) , e3 (1,1,1) .

Решение. Обозначим координаты вектора x в данном базисе через 1, 2 , 3 , т. е.

x 1e1 2e2 3e3 . Последнее равенство запишем покоординатно:

откуда, приравнивая соответствующие координаты, получим

39

Решение. Разложим сначала векторы нового базиса B по старому базису B :

Записывая коэффициенты полученных разложений столбцами, получим матрицу перехода от базиса B к базису B :

40

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Покажите, что данная система векторов e1, e2 ,..., en образует базис, и найдите координаты вектора x в этом базисе:

1. e1 (1,0,1) , e2 (0,1,0) , e3 (2,3, 4) , x (1, 3, 3) ;

2. e1 (1, 2, 1, 2) , e2 (2,3, 0, 1) , e3 (1, 2,1, 4) , e4 (1,3, 1,0) ,

x(7,14, 1, 2) ;

3.e1 (1, 2,3) , e2 ( 1, 4,0) , e3 (1,0,0) , x (5, 2, 6) ;

4.e1 (0, 1, 4) , e2 (3,0, 1) , e3 (2,1, 2) , x ( 1, 0, 5) .

5.Найдите матрицу перехода от базиса B : e1, e2 , e3 к базису

x (2, 3, 1) .

41

векторы базиса e :

Ae1 a11e1 a21e2 ... an1en ,

Ae2 a12e1 a22e2 ... an2en ,

. . .

Aen a1ne1 a2ne2 ... annen .

Коэффициенты полученных разложений запишем в матрицу столбцами. Получим:

42

Пусть даны операторы A и B , действующие в линейном пространстве L . Введем операции сложения и умножения операторов, и операцию умножения оператора на скаляр.

Суммой операторов A и B называется оператор A B , определяемый равенством ( A B)x Ax Bx .

Произведением оператора A на скаляр R называется оператор A , определяемый равенством ( A)x Ax .

Произведением операторов A и B называется опера-

равенств: ( A B)e Ae Be , ( A)e Ae , (AB)e Ae Be .

Примеры решения задач

вид e1 (1, 0, 0) , e2 (0,1, 0) , e3 (0, 0,1) . Найдем значения оператора A на базисных векторах. Имеем:

Запишем полученные коэффициенты в матрицу столбцами, получим матрицу линейного оператора:

43

44

Найдем явный вид этого оператора:

или (B 2A)x (3x1 x2 , 4x1 3x2 ) .

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1. Являются ли линейными следующие операторы:

5.Найдите координаты вектора y Ax , если оператор A задан матрицей A (в этом же базисе):

45

Тема 9. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

Справочный материал

Пусть L - линейное пространство, dim L n . Пусть A : L L - линейный оператор.

Собственным вектором линейного оператора A называется такой ненулевой вектор x L , что Ax x для некоторого R . При этом число называется собственным значением, соответствующим собственному вектору x .

Сформулируем правило нахождения собственных значений и собственных векторов линейного оператора.

1) Для отыскания собственных значений k надо решить характеристическое уравнение | Ae E | 0 .

2) Для отыскания собственных векторов надо для каждого найденного собственного значения k решить одно-

родную систему уравнений ( Ae k E) X O . Ненулевые

решения этой системы - это столбцы координат искомых собственных векторов в базисе e . Фундаментальная система решений этой системы дает полный набор линейно независимых собственных векторов, отвечающих k .

Теорема. Матрица линейного оператора A : L L приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда в пространстве L существует базис из собственных векторов этого оператора. В этом базисе матрица оператора A имеет вид

где i - собственные значения оператора A .

46

Примеры решения задач

Найдите собственные значения и собственные векторы этого оператора.

Решение.

1) Найдем корни характеристического многочлена:

1 3 . Для этого найдем ненулевые решения системы уравнений ( A 1E)X O :

где - любое. Таким образом, вектор ( , 0) , где 0 , является собственным вектором, отвечающим собственному значению 1 3 . Например, при 1 получаем собственный вектор X1 (1, 0) .

3) Аналогично находим собственный вектор, отвечаю-

Тогда вектор (5 , ) , где 0 , является собственным вектором, отвечающим 2 4 . При 1 получаем X2 (5,1) .

47

Пример 2. Выяснить, приводима ли данная матрица к

Решение. 1) Найдем собственные значения матрицы A . Для этого решим характеристическое уравнение | A E | 0 :

Вычислим этот определитель методом выделения линейных множителей. Для этого выполним элементарные преобразования, которые сформируют в какой-либо строке (столбце) матрицы A E общий множитель вида a , который затем вынесем за знак определителя.

Предлагается следующий путь вычисления определителя | A E | . К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на (-2), а затем из третьей строки вынесем общий множитель ( 9 ):

В последнем определителе ко второму столбцу добавим третий столбец, умноженный на 2, и разложим полученный определитель по третьей строке:

48