Методическое пособие 398

Примеры решения задач

Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение. Составим расширенную матрицу системы. Для удобства столбец свободных членов отделим чертой:

С помощью элементарных преобразований матрицу Ap при-

ведем к ступенчатому виду. Для этого выполним следующую цепочку преобразований:

1)поменяем местами первую и вторую строки;

2)ко второй строке добавим первую, умноженную на (-3);

ктретьей строке добавим первую, умноженную на (-4);

3)к третьей строке добавим вторую, умноженную на (-5);

4)третью строку поделим на (-11). Получим

Составим систему уравнений с расширенной матрицей С:

29

Отсюда находим, поднимаясь по системе снизу вверх:

x1 x3 x2 1x2 4x3 5 3x3 2

Решение. Составим расширенную матрицу системы и выполним над ней следующую цепочку преобразований:

1)ко второй строке добавим первую, умноженную на (-2); из третьей строки вычтем первую;

2)вторую строку поделим на (-3);

3)для получения ступенчатого вида матрицы переставим второй и третий столбцы.

Перестановке столбцов соответствует перестановка неизвестных в каждом уравнении системы, поэтому над каждым столбцом подпишем соответствующую ему неизвестную.

30

Составим систему уравнений с расширенной матрицей C :

Отсюда находим (поднимаясь по системе снизу вверх):

x1 4 x4 x2 2x3 1 x4x3 x2 3 0

x2 3

Таким образом, неизвестная x4 является свободной. Полагая x4 , получаем общее решение системы:

В данном случае система имеет бесконечно много решений. Придавая различные значения, будем получать различные частные решения системы.

Пример 3. Решить методом Гаусса систему уравнений:

Решение. Выполним следующую цепочку элементарных преобразований над расширенной матрицей системы:

1)ко второй строке добавим первую, умноженную на (-2); из третьей строки вычтем первую;

2)из третьей строки вычтем вторую. Получим:

31

Третьей строке последней матрицы соответствует уравнение: 0 x1 0 x2 0 x3 3, или 0 3 . Этому уравнению не удовлетворяют никакие значения неизвестных. Следовательно, данная система несовместна.

Пример 4. Исследовать систему уравнений в зависимости от значений параметра :

Вычислим ранги этих матриц при помощи элементарных преобразований. Для удобства будем работать только с матрицей Ap , отделив столбец свободных членов верти-

кальной чертой. Получим:

Отсюда видно, что rang A 2 , а ранг расширенной матрицы зависит от , а именно: если 1 , то rang Ap 2 ;

если 1 , то rang Ap 3 . Сравнивая ранги матриц A и Ap , делаем вывод:

32

1) При 1 имеем rang A rang Ap 2 . Следовательно, система уравнений совместна. Кроме того, n r ( n 4 ,

r2 ), поэтому система имеет бесконечно много решений.

2)При 1 имеем rang A rang Ap . Следовательно,

система несовместна.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решите системы уравнений методом Гаусса:

Исследуйте системы линейных уравнений, для совместных систем найдите решение:

33

Исследуйте систему и найдите общее решение в зависимости от значений параметра :

Тема 6. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ

Справочный материал

Система линейных уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю:

Пусть rang A r . Тогда с помощью метода Гаусса дан-

ную однородную систему можно привести к равносильной системе ступенчатого вида:

где элементы b11 , b22 , … , brr 0 .

34

Переменные xr 1 ,…, xn являются свободными неиз-

вестными. Они могут принимать различные значения. Выберем их следующим образом: положим одно из значений свободных неизвестных равным единице, а остальные – равными нулю. Таких различных наборов будет n r штук, следовательно, получим n r частных решений.

Найденные n r частных решений X1 , X 2 , … , Xn r данной однородной системы образуют так называемую фундаментальную систему решений. Все остальные решения системы являются их линейными комбинациями. А именно, общее решение X данной однородной системы AX O имеет вид

Xn r - фундаментальная система решений.

В случае n r в системе нет свободных неизвестных, и система имеет единственное решение - нулевое. Фундаментальная система решений в этом случае не существует.

Примеры решения задач

Пример 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений:

Решение. Выпишем матрицу системы и вычислим ее

Отсюда видно, что r rang A 2 . Поэтому фундаментальная система решений состоит из n r 4 2 2 решений. По-

35

строим эти решения. Составим систему уравнений, соответствующую матрице C :

фундаментальной системы решений поочередно одно из свободных неизвестных полагаем равным единице, а остальные – нулю.

ющие им значения x1 , x2 удобно сразу записывать в таблицу:

Таким образом, фундаментальная система решений найдена, она состоит из решений X1 и X 2 . Следовательно, общее решение данной однородной системы имеет вид:

где 1 , 2 - произвольные числа.

36

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Найдите общее решение и фундаментальную систему решений для следующих однородных систем:

Решите неоднородные системы, используя фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы:

37

Тема 7. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Справочный материал

Упорядоченная система векторов e1, e2 ,..., en L называется базисом пространства L , если:

1)векторы e1, e2 ,..., en линейно независимы;

2)любой вектор x L может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов, т.е.

Коэффициенты этих разложений запишем в матрицу столбцами. Получим матрицу перехода от базиса B к базису B :

38