Методическое пособие 398

и исходное уравнение имеет решение.

Найдем обратную матрицу A 1 . Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A и воспользуемся формулой (4):

Найдем решением данного матричного уравнения:

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1.Для данной матрицы A найдите обратную матрицу A 1 . Сделайте проверку, т.е. убедитесь, что AA 1 E .

19

6.Для данной матрицы A найдите обратную матрицу A 1 . Сделайте проверку, т.е. убедитесь, что AA 1 E :

20

7. Выясните, какие из данных матриц имеют обратные:

8. Решите матричные уравнения:

Тема 4. ПРАВИЛО КРАМЕРА И МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Справочный материал

Системой m линейных уравнений с п неизвестными x1 , x2 , … , xn называется система вида:

Система (5) может быть записана в матричной форме AX B ,

Здесь A - основная матрица системы, B - столбец свободных членов, X - столбец неизвестных.

21

Решением системы уравнений (5) называется такой упорядоченный набор чисел x1 1 , x2 2 ,…, xn n , при

подстановке которых в систему (5) каждое уравнение обращается в верное равенство.

Рассмотрим случай, когда в системе (5) число уравнений равно числу неизвестных, т.е. m n . В этом случае система примет следующий вид:

Основная матрица такой системы – квадратная, и можно найти ее определитель:

Если этот определитель отличен от нуля ( 0 ), то решение системы (6) можно найти по правилу Крамера или матричным методом.

Теорема (правило Крамера). Если 0 , то система уравнений (6) имеет единственное решение, которое нахо-

делитель, полученный из определителя заменой i -го столбца столбцом свободных членов.

Решение системы (6) матричным методом состоит в следующем. Систему уравений надо записать в матричном виде AX B . Затем найти решение такого матричного урав-

нения по формуле X A 1B .

22

Примеры решения задач

Пример 1. Решить систему уравнений по правилу Крамера и матричным методом:

2x1 3x2 5,

x1 2x2 2.

Решение. а) Решим систему уравнений по правилу Крамера. Сначала вычислим основной определитель системы:

2 3 1 . 1 2

Так как 0 , то решение системы существует и единственно. Затем вычислим вспомогательные определители 1 и 2 ,

заменяя последовательно первый и второй столбцы определителя столбцом свободных членов:

По правилу Крамера найдем решение системы уравнений:

тельно, система имеет единственное решение.

Вычислим алгебраические дополнения к элементам

23

по правилу Крамера.

Пример 2. Решить систему уравнений по правилу Крамера и матричным методом:

Решение. Вычислим основной определитель системы:

Так как 0 , то данная система уравнений совместна и имеет единственное решение.

а) Найдем решение по правилу Крамера. Вычислим вспомогательные определители 1 , 2 и 3 , заменяя по-

следовательно первый, второй и третий столбцы определителя столбцом свободных членов:

24

Тогда по правилу Крамера получим:

Найдем решение системы уравнений по формуле X A 1B , или подробно:

25

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить системы уравнений двумя способами: 1) по правилу Крамера; 2) матричным методом. Сделать проверку.

Тема 5. МЕТОД ГАУССА Справочный материал

Рассмотренные выше правило Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений обладают рядом существенных ограничений. Эти методы применимы только в случае, когда число уравений равно числу неизвестных, при этом основной определитель системы должен быть от-

Более универсальным является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

26

Рассмотрим систему (5):

Решение системы (5) методом Гаусса состоит из двух этапов. I. С помощью элементарных преобразований систему приво-

дят к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса).

II. Из ступенчатой системы последовательно находят все не-

известные (обратный ход).

Опишем преобразования подробно. Выпишем расширенную матрицу системы (5):

Если над системой уравнений выполнять элементарные преобразования, то над матрицей A будут соответственно выполняться элементарные преобразования матриц: перестановка двух строк; умножение строки на число, отличное от нуля; добавление к одной строке другой строки, умноженной на произвольное число; перестановка столбцов. С помощью таких преобразований матрицу А можно привести к ступенчатому виду. Тогда соответственно расширенная матрица Ap примет вид:

27

где все диагональные элементы b11 , b22 , … , brr отличны от

нуля. Матрице (7) соответствует следующая ступенчатая система уравнений, равносильная исходной:

При решении системы (8) возможны следующие случаи. 1) Если хотя бы одно из чисел cr 1 , …, cm отлично от

нуля, то система (8), и следовательно, исходная система (5), несовместна.

2) Если cr 1 ... cm 0 и r n , то исходная система

совместна и имеет единственное решение. В этом случае система (8) имее треугольный вид. Из последнего уравнения находим xn ; затем из предпоследнего находим xn 1 , под-

ставляя уже найденное значение xn , и так далее. Поднимаясь по системе, находим все остальные неизвестные xn 2 ,…, x1 .

3) Если cr 1 ... cm 0 и r n , то исходная система

совместна и имеет бесконечно много решений. Для нахождения этих решений надо выбрать свободные неизвестные xr 1 ,…, xn , а остальные неизвестные x1 ,…, xr надо выразить

через свободные.

Исследование систем линейных уравнений проводят с помощью следующей теоремы.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений (5) совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

28