Методическое пособие 389

Векторы, совпадающие с диагоналями параллелограмма на рис. 3.7 являются, соответственно, суммой и разностью слагаемых векторов.

Произведением вектора на число к называется вектор c коллинеарный вектору a , имеющий длину c k a и то же направление, что и вектор a , если k >0 , и противоположное направление, если k <0.

Так, например, 2 a есть вектор, направленный в ту же сторону, что и вектор a и имеющий длину вдвое большую, чем вектор a .

Противоположный вектор (−a ) можно рассматривать как результат умножения вектора a на k =( 1), a ( 1) a . Очевидно, что a ( a) 0.

Так же, если два вектора a и b коллинеарны, то имеет место равенство

b ka.

Легко убедиться, что умножение вектора на число обладает свойствами:

– распределительным:

k ( a b) k a kb) , (k1 k2 )a k1 a k2 b.

– сочетательным:

(k1k2 )a k1 (k2 a).

Примечание. Из определения вектора следует, что a a a0 , где a0 −

единичный вектор, т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Единичный вектор, начало которо-

го совпадает с началом отсчета на оси 0х, называется ортом и обозначается i . В этом случае

3.2. Проекция вектора на ось

Пусть AB вектор, произвольно расположенный на плоскости (x0y) .

Проекцией точки A на ось 0 х называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось 0 х и обозначается: A1 Прх А (рис. 3.8).

Проекцией вектора AB на ось называется модуль вектора A1 B1 , которая обозначается: Пр0 x AB A1 B1 .

Если координаты начала и конца вектора известны x1 и x2 , то про-

екция вектора на ось равна разности координаты конца и начала этого вектора:

41

Если вектор AB образует с осью 0х острый угол, то Пр0x AB >0 , если угол тупой, то Пр0 х АВ 0 .

y

B(x2 y2 )

3.3. Алгебраическая форма вектора

Рассмотрим на плоскости ( х0y ) радиус-вектор r 0А 0В ВА и на оси 0 y построим единичный вектор орт j (рис. 3.9).

0

Рис. 3.9

Согласно (3.1) 0В i x , OC BA j y , следовательно,

42

Эта формула называется разложением вектора по координатам, а за-

пись вектора в таком виде называется алгебраической формой вектора. Здесь x, y проекции вектора на оси координат (координаты вектора),

i, j орты. Сокращенно вектор в алгебраической форме записывают в виде: 0À x, y .

Из треугольника 0AB следует:

i, j,k единичные векторы (орты), расположенные на соответствующих осях.

0À x2 y2 z2 . (3.8)

Пусть даны два вектора в пространстве: a x1, y1, z1 , b x2 , y2 , z2 .

Так как над векторами можно осуществлять линейные операции сложение, вычитание и умножение на число, то согласно свойствам проекции век-

Чтобы сложить или вычесть два вектора в алгебраической форме, нужно сложить или вычесть их соответствующие проекции, а чтобы вектор умножить на число, нужно умножить все его проекции на это число.

Из рис. 3.7 следует:

AB 0B 0A , AB x, y, , 0B x2 , y2 , 0A x1, y1 .

По свойству разности векторов (3.9)

Таким образом, проекции вектора, заданного координатами своих концов, равны разности координат его конца и начала.

Для вектора в пространстве получаем аналогичную формулу:

43

Модульвектора, заданногокоординатамиегo концов, определяетсяформулой

c ( 13)2 142 ( 10)2 465.

§4. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением (a,b) двух векторов a и b

называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угламежду ними:

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

(1) а,b b,a ,

2)m(a,b) (ma,b) (a,mb),

3)a (b c) (a,b) (a,c) ,

4)a,a a 2 , в частности i2 j2 k 2 1.

44

Пример. Найти угол между векторами a 1, 3, 2 и b 4,2,0 .

Определение. Три упорядоченных вектора a,b,c образуют правый ба-

зис, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму совершается против часовой стрелки, а если по часовой, то базис называется левым.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Даны векторы a (2; 1; 2), b (8; 4; 4).

Найти: а) векторы с 2а, d 3b 12 a ; б) c , d ; в) скалярное произведение векторов (с,d); г) угол между векторами c и d .

2. Даны вершины тетраэдра : А(-3,2,1), B(2,-4,5),С(-1,4,-2) , D(1,0,-3).

Найти: длину ребер и ПрАС АB .

135о .

4.Построить параллелограмм на векторах 0A (1,1,0) и 0B (0, 3,1) и

определить проекции диагоналей параллелограмма 0C и AB и их длины.

5. Даны векторы a (4, 2,4) и b (4, 2, 4). Найти угол между век-

торами c и d , если c 12 a, d 2a b.

6.Найти угол между диагоналями параллелограмма , построенного на векторах a (2,1,0) и b (0, 2,1).

7.Даны вершины четырехугольника:

A( 2,3, 1), B(2,0,5), C(1,3, 3), D( 3,2, 1) . Вычислить длины его сторон,

диагоналей и угол между диагоналями.

45

Глава 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§1. Линейные пространства

1.1.Понятие n -мерного пространства

Мы уже встречались ранее с понятием пространства. Под одномерным пространством мы понимаем числовую ось, под двухмерным и трехмерным – прямоугольные декартовы системы координат на плоскости и в пространстве. Эти пространства были введены для определения положения точки на прямой, плоскости и в пространстве соответственно. При помощи них устанавливается взаимно - однозначное соответствие между точкой на прямой и одним числом, точкой на плоскости и парой чисел, точкой в пространстве и тройкой чисел. Эти числа называются координатами точки. Например, на плоскости координаты можно обозначить парой чисел ( x1, x2 ) , в пространст-

ве − тройкой чисел (x1, x2 , x3 ). Эти совокупности чисел являются упорядо-

ченными совокупностями, т.е. их расположение нельзя менять, так как это существенно влияет на положение точки. В пространстве располагаются по порядку: абсцисса, ордината, затем аппликата.

В геометрии, механике, физике, экономике часто приходится рассматривать и изучать такие объекты, для задания которых недостаточно трех чисел.

Пример 1. Для задания совокупности шаров в трехмерном пространстве, кроме координат центра шара, надо задать еще его радиус, т.е. положение шара в пространстве задаётся упорядоченной четверкой чисел.

Пример 2. Положение тела в пространстве с известной температурой, давлением, массой вполне определяется упорядоченной шестеркой чисел – три координаты его центра тяжести (три числа x1, x2 , x3 ) , x4 – температурой,

х5 −давлением, x6 − массой.

Пример 3. Для характеристики производимой продукции в городе– хлеба, молока, товаров легкой и тяжелой промышленности – надо задать упорядоченную совокупность из стольких чисел, сколько выпускается этих изделий.

Эти примеры показывают, что целесообразно рассматривать упорядо-

n -мернымым вектором или точкой n -мерного пространства, а всю совокупность таких точек (векторов): n -мерным пространством (вектор-

ным пространством). Совокупности чисел (векторы) представляют элементы пространства, а сами числа называют координатами (состав-

ляющими, компонентами, проекциями) точек пространства, число n этих координат − размерностью пространства.

46

Приведем в качестве примеров векторов следующие:

Радиус-векторы на плоскости или в пространстве – это двухмерные и трехмерные векторы.

1.Положение шара радиуса r определяется четырехмерным вектором

( x1, x2 , x3, x4 ), где x4 = r .

2.Коэффициенты всякого линейного уравнения с n переменными со-

ставляют n −мерный вектор.

3.Всякое решение ( x10 x20 ,...xn0 ) любой системы n уравнений с n неиз-

вестными можно рассматривать как n −мерный вектор.

4.Строку или столбец определителя n −го порядка можно рассматривать как n − мерный вектор.

5.Матрица размерности m n может рассматриваться как mn мерный

вектор.

Таким образом, векторами могут быть объекты различной физической или математической природы. Но важна не природа объектов, а те математические операции, которые можно производить над ними. Такими операциями являются сложение векторов и умножение на число.

Определим сначала понятие равенства двух векторов. В двухмерном и трёхмерном пространствах под равными векторами понимают такие, которые имеют равные модули и одно и тоже направление. Если векторы заданы своими проекциями (в алгебраической форме), то два вектора равны, если равны их соответствующие компоненты (проекции). Два n − мерных вектора

X ( x1 , x2 ,...xn ) и Y ( y1 , y2 ,...yn ) равны, если равны их соответствующие ком-

поненты: x1 y1 , x2 y2 , ...xn yn .

Действие сложения векторов определяется по правилу параллелограмма. Если векторы заданы своими проекциями X = ( x1 , x2 ....xn ), Y = ( y1 , y2 ,...yn ),

то их сумма будет вектор

X Y =( x1 y1 , x2 y2 ....xn yn ).

При умножении вектора на число умножают на это число все его компо-

ненты: m X =( mx1 , mx2 ,...mxn ).

1.2. Линейные пространства

Пусть введенные операции сложения векторов и умножения вектора на число удовлетворяют следующим свойствам.

1.X Y Y X − переместительный закон (коммутативный).

2.X (Y Z ) (X Y ) Z – сочетательный закон (ассоциативный).

3.В пространстве существует нулевой элемент 0 , такой что X 0 X .

4.Существует обратный элемент (- X ) такой, что X X 0 .

5.Существует единичный элемент такой, что 1 X X .

47

6.Для любых двух вещественных чисел m и n и любого элемента X этого пространства выполняется m(nX ) (mn)X .

7.Для любых двух вещественных чисел m и n и любого элемента X выполняется (m n)X mX nX .

8.Для любого вещественного числа m и элементов пространства X и Y выполняется m ( X Y ) = m X + m Y (распределительный или дистрибутив-

ный закон относительно числового множителя).

Определение. Множество элементов, для которых определены операции сложения элементов и умножение на число, и для которых выполняются условия (1–8) называется линейным пространством.

Примеры.

1.Множество всех действительных чисел есть линейное множество.

2.Множество положительных чисел не является линейным пространством, так как условие (4) не выполняется (нет обратного числа среди положительных чисел).

3.Множество всех многочленов степени не выше n есть линейное множество.

4.Множество всех векторов любого n -мерного пространства – линейное множество.

Определение. Линейным подпространством R* линейного простран-

ства R называется такая совокупность элементов пространства R, которая сама является линейным пространством.

Так, например, любая совокупность векторов, лежащих в плоскости R2

есть линейное подпространство пространства R3.

Линейной комбинации векторов называется сумма произведений векторов некоторого пространства на произвольные константы:

c1 X1 c2 X 2 ... cn X n .

Определение. Система векторов X1, X 2 ,...X n называется линейно зависимой, если их линейная комбинация равна нулю:

и существует хотя бы один действительный множитель, отличный от нуля; и линейно независимой, если их линейная комбинация равна нулю при условии, что все константы равны нулю: c1 c2 ... cn 0 .

Пусть система векторов линейно зависима и, например, ck 0.

каждый из них линейно выражается через другие. Обратно тоже верно. Если один из векторов линейно выражается через другие, то векторы линейно зависимы. Действительно, если

X k c1 X1 ... cn X n , то X k c1 X1 ... cn X n =0 ,

48

где при X k коэффициент ck не равен нулю, то они линейно зависимы.

Примеры.

1.Любые два неколлинеарных вектора в двухмерном пространстве линейно независимы, коллинеарные – линейно зависимы.

2.Любые три некомпланарных вектора в трёхмерном пространстве линейно независимы, а компланарные − линейно зависимы. Любые четыре вектора в трёхмерном пространстве являются линейно зависимыми.

Определение. Любая упорядоченная система e1,e2 ,...en линейно незави-

симых векторов n – мерного линейного пространства называется его базисом. Для каждого элемента X пространства Rn существуют числа такие, что

(или проекциями, если это векторное пространство).

Равенство (4.2) называется разложением элемента X по базису.

В теории доказывается, что каждый вектор X линейного пространства R имеет однозначное разложение по базису.

Например, в трехмерном пространстве любые три некомпланарные векторы образуют его базис. В частности, векторы i, j,k , образуют базис, и лю-

бой вектор имеет разложение по этому базису: X x1i x2 j x3k .

Пример 1.

Решение. Составим векторное равенство 1a1 2 a2 3 a3 0 . Записывая векторы в виде вектор − столбцов, получим

Решение сводится, таким образом, к решению системы

49

Решая систему методом Гаусса, приведем ее к виду

откуда находим бесконечное множество решений: ( 1 с; 2 2c; 3 c),

где c − произвольное действительное число.

Итак, для данных векторов условие (1.1) выполняется не только при1 2 3 0 , а, например, при 1 1 2 2, 3 1 (c 1) и т.д., следовательно эти векторы линейно зависимые.

Пример 2.

В базисе e1,e2 ,e3 заданы векторы a1 {1,1,0}, a2 {1, 1,1}, a3 { 3,5, 6}.

Показать, что эти векторы образуют базис.

Решение. Векторы a1,a2 ,a3 образуютбазис, еслионилинейнонезависим. Составим векторное равенство 1a1 2 a2 3 a3 0 . Решая его анало-

гично примеру 1, можно убедиться, что оно имеет единственное нулевое решение: 1 2 3 0 , т.е. данные векторы линейно независимые и, следо-

вательно, составляют базис.

1.3. Переход к новому базису

Для простоты рассуждений рассмотрим линейное пространство R3 . Пусть в этом пространстве имеются два базиса старый e1, e2 , e3 и новый

e1*,e2*,e3 *. Каждый из векторов нового базиса может быть выражен в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Полученная система означает, что переход от старого базиса к новому задается матрицей перехода

50