Методическое пособие 389

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными. Последовательность xn называется ограниченной, если существует та-

кое число M , что для любого номера n выполняется неравенство

xn M (xn M ) .

В приведенном выше примере последовательность 1)− возрастающая, последовательность 2) − убывающая, обе последовательности ограниченные. Последовательность 4)− возрастающая и неограниченная.

Сформулируем без доказательства важные свойства пределов последовательностей.

1.Последовательность может иметь только один предел.

2.Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

1.1. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение. Последовательность, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой. Последовательность, предел которой равен бесконечности называется бесконечно большой,

Заметим, что в реальном мире бесконечно малые величины не существуют, так как они превращаются в нуль из-за практической невозможности определения очень малых размеров величин.

Бесконечно малые величины обычно обозначают (x) , бесконечно большие − (x) .

Все выше рассмотренные понятия можно распространить на переменную величину,

На примерах числовых последовательностей нетрудно проверить следующие свойства бесконечно малых величин:

1. 1 (x) 2 (x) (x) ; 2. k (x) (x) ; 3. 1 (x) 2 (x) (x) ;

4.1 (x) − не всегда есть бесконечно малая.

2 (x)

Примеры.

101

Нетрудно проверить свойства бесконечно больших величин:

1. Величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая,

2.1 (x) 2 (x) (x),

3.1(x) 2 (x) (x),

4.k (x) (x),

5.1(x) 2 (x) и 1(x) − не всегда являются бесконечно большими.

2 (x)

§2. Предел функции в точке

Понятие предела функции является основным понятием математического анализа, так как является основой таких операций, как дифференцирование и интегрирование.

Рассмотрим функцию, график которой изображен на рис. 7.1.

Рис. 7. 1

Если переменная x меняет свои значения, то y тоже определённым об-

разом изменяет свои значения, причём, если аргумент x стремится к какому либо значению (пределу), то переменная y тоже стремится к какому-то опре-

делённому пределу.

На рис. 7.1 имеем: если x x1 , то y f (x1 ) , если x 0,

то y f (0) A ,

если x x2 , оставаясь слева, то y , если справа то y , если x x3 , y 0 , если x x4 , y f (x4 ) B и, наконец, если

102

x , y 0 , если x , y .

Значение, к которому стремится функция y , называется её пределом и обозначается A lim x a f (x) или f (x) A при x a .

Дадим строгое математическое определение предела функции. Определение. Число A называется пределом функции y f (x) в точке

всех x , достаточно близких к числу a , соответствующие им значения функции f (x) оказываются сколь угодно близкими к числу A .

В рассмотренных на рисунке примерах имеем

Здесь пределы 3, 4, 7, 8 называются односторонними, причём 3 и 7 пределами слева, 4 и 8 односторонними пределами справа.

Функция, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой и обозначается: (x) limx a f (x) 0.

Если предел функции в точке равен бесконечности, то она называется

бесконечно большой и обозначается (x) limx a f (x) .

Бесконечно малые и бесконечно большие функции обладают теми же свойствами, что и бесконечно малые и бесконечно большие величины.

Следствие. Из определения предела функции следует, что если

где (x) − бесконечно малая функция в точке x a .

Число А называется пределом функции в точке x a , если абсолютная величина разности f (x) A (x) есть функция бесконечно малая в этой

точке.

2.1. Свойства пределов функции

Сформулируем основные теоремы о пределах. 1. Функция может иметь только один предел.

103

Доказательство. Предположим противное, т.е. функция f (x) имеет два

различных конечных предела A B . Тогда на основании следствия (7.1) имеем

f (x) A 1(x), f (x) B 2 (x), где 1(x), 2 (x) − бесконечно малые в точке x a (при x a ). Вычитая левые и правые части этих равенств, получим

0 A B [( 1(x) 2 (x)],

откуда 1(x) 2 (x) B A.

Это равенство невозможно, так как слева стоит бесконечно малая величина, а справа конечная. Следовательно, предположение о существовании двух конечных различных пределов неверно.

Следующие свойства пределов функции приведем без доказательства.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

9. (Теорема о промежуточной функции). Если в окрестности точки x a даны три функции, такие что выполняется двойное неравенство

f1 (x) f2 (x) f3 (x) и

10. Всякая элементарная функция имеет предел в любой точке x a , принадлежащей ее области определения, равный значению функции в этой

точке lim f (x) f (a) .

x a

104

105

Примечание. Первый замечательный предел раскрывает неопределён-

3.2. Второй замечательный предел Вторым замечательным пределом называется

Графики этих функций при различных основаниях a отличаются тем, что касательные, проведенные к ним в начале координат имеют разные углы наклона с осью 0х и зависят от основания a .

y

Рис. 7.3

Рассмотрим график той функции, касательная к которой образует с осью 0х угол 45O , а основание логарифма такой функции обозначим буквой e, т.е. функцию y loge (1 x) .

1

lim(1 x) x lim 45 etg e .

x 0

Таким образом,

106

Число e является основанием логарифмической функции, касательная к

графику которой в начале координат наклонена к оси 0x под углом 450 . Сделаем замену переменной:

x 1y , y 1x , если x 0 , то y .

дела (7.6) при этих значениях y , т.е. y =1,2,3,….

При y = 1, e = 2; при y = 2, e = 2,25 ; при y = 3, e 2,37.

Чем больше y , тем число e ближе к значению e 2,72 (с точностью до

сотых).

Это число иррациональное, например, с точностью до десяти десятичных знаков оно равно: e = 2,7182859495. Для практических расчетов достаточно брать e 2,72.

Примечание. При помощи второго замечательного предела раскрывается неопределённость типа 1 .

Из логарифмической функции y loga x, a 1, a 0 при a 10 получаем десятичные логарифмы y lg x (бригговы − немецкий математик Бригг).

Если принять за основание логарифмов а число, равное e 2,72, то получим так называемые натуральные логарифмы y ln x (неперовы лога-

Натуральные логарифмы примерно в 2,5 раза больше десятичных.

3.4. Задача о непрерывном начислении процентов

Пусть первоначальный вклад в банк составил Q0 денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно p% годовых. Необходимо найти размер вклада Q1 через t лет.

107

При использовании простых процентов размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину 100p Q0 , т.е.

На практике значительно чаще применяют сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и тоже число

Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (n 2) , ежеквартально (n 4) , ежемесячно (n 12) , каждый день (n 365),

108

Формула (7.8) выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при p 0) или убывания (при p 0) . Она может быть использована при не-

прерывном начислении процентов.

Чтобы почувствовать результаты расчетов в зависимости от способа начисления процентов в таблице 1 в качестве примера приводятся размеры вкладов Qt , вычисленные при Q0 1 ден. ед., p 5 %, t 20 лет.

Как видим, погрешность вычисления суммы вклада по формуле (7.8) непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой (7.7) сложных процентов, начисляемых ежегодно (n 1) при одной и той же процентной

ставке (5 %) оказалась незначительной (около 2,5 %).

Замечание. Хотя в практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко, оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем.

§ 4. Раскрытие неопределенностей

Из свойств бесконечно малых и бесконечно больших следует, что если(x) − бесконечно малая, а (x) − бесконечно большая функции, то

бесконечно большими. Их пределы могут принимать любые значения, как конечные, так и бесконечные. Поэтому такие выражения называются неопределенностями, а вычисление пределов таких выражений называется рас-

крытием неопределенностей.

Неопределённости символически обозначаются:

И читаются – неопределенность вида (типа): ноль на ноль, бесконечность на бесконечность, бесконечность минус бесконечность, единица в степени бесконечность, ноль в степени бесконечность, ноль в степени ноль, ноль в степени бесконечность, бесконечность в степени ноль.

Для раскрытия неопределенностей применяют различные способы.

членов Pn (x) степеней n и m соответственно, то для раскрытия неопреде-

Qm (x)

109

ленности достаточно разложить эти многочлены на простые множители и сократить числитель и знаменатель на общие множители.

Эти множители представляют собой бесконечно малые функции (не равные нулю функции), поэтому на них можно сокращать дроби.

держащих иррациональности (выражения с корнями), то неопределенность раскрывается умножением числителя и знаменателя на сопряженные им иррациональные выражения и сокращением на общие множители

(иррациональные выражения a b , a b называются сопряженными).

Pn (x) , раскрывается почленным делением числителя и знаменателя на наи-

Qm (x)

высшую степень переменной x , при этом, если степени многочленов одинаковых, то предел равен отношению коэффициентов при высшей степени числителя и знаменателя. Если степень числителя больше, то предел равен бесконечности, если меньше, то предел равен нулю.

§ 5. Непрерывность функции 5.1. Непрерывность функции в точке

Выше были рассмотрены односторонние пределы функции в точке. В общем случае предел зависит от того, с какой стороны переменная x стре-

110