Методическое пособие 389

3. Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой

В приложении получены формулы производных следующих функций:

121

1.6. Производная сложной функции

Рассмотрим функцию y f (u) , где u = (x) , тогда функция y f [ (x)]

является сложной функцией, где u называют промежуточным аргументом, а x независимой переменной или основным аргументом.

Теорема. Если y f (u) и u (x) , причем f (u) имеет производную по u , а (x) – по x , то производная сложной функции равна произведению про-

изводной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по основному, т.е.

Доказательство. Пусть приращению аргумента x соответствует приращение промежуточного аргумента u , а ему соответствует приращение функции y .

Представим отношение приращений в виде

y y u

x u x

Для вычисления производной сложной функции первое время удобно внутреннюю функцию, то есть промежуточный аргумент, выделять чернилами и мысленно считать его функцией от x .

Пример.

x

122

1.7. Логарифмическое дифференцирование

На практике очень часто используют метод логарифмической производной.

Особенно удобен этот метод, если данная функция является степенно показательной функцией, т.е. y uv , где u u(x) и v v(x) , или, если

функция представляет собой произведение, частное, степени и корни большого числа функций.

Метод логарифмической производной заключается в следующем. Сначала находим логарифм (удобнее брать натуральный логарифм) дан-

ной функции, а затем находим производную этого логарифма, и наконец, подставляем вместо y ее первоначальное значение.

Применим сказанное к вышеприведенной функции:

Таблица производных основных элементарных функций

В приводимой таблице будем считать аргументом функцию u u(x) .

123

Выведем производную степенно-показательной функции.

функции тоже является функцией и от нее можно найти производную y .

Эта производная называется производной второго порядка или второй производной и обозначается y или f (x) .

124

Производная от второй производной называется производной третьего

В общем случае для вычисления производной n −го порядка надо предварительно вычислить все производные до (n 1) порядка.

Выясним физический смысл второй производной.

Так как s (t0 ) [s (t0 )] v (t0 ) a(t0 ) , то вторая производная пути по времени есть ускорение точки в момент t0 .

§ 2. Использование производной в экономике

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Определение. Эластичностью функции Ex ( y) называется предел от-

ношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при x 0 :

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y f (x) при изменении независимой переменной x на 1%.

Выясним геометрический смысл эластичности функции. По определению

125

то окончательно Ex ( y) MBMA . Следовательно, эластичность функции равна

отношению расстояний по касательной от данной точки графика до точек пересечения с осями Oy и Ox .

Рис. 8.3

Определение. Темпом изменения функции называется производная ее натурального логарифма, т.е. отношение производной функции к самой функции:

Эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность цены x (или дохода x ) − коэффициент, определяемый по формуле (8.16) и приближенно показывающий, на сколько процентов изменится спрос (объем потребления) при изменении цены (или дохода) на 1%.

126

Если эластичность спроса (по абсолютной величине) Ex ( y) 1, то спрос считают эластичным, если Ex ( y) 1− неэластичным относительно цены (или дохода). Если Ex ( y) 1, то говорят о спросе с единичной эластичностью.

Пример. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y

(тыс. руб.) и выпуском продукции x (млрд. руб.) выражается функцией y 0,5x 80. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции,

равном 60 млн.руб.

Решение. По формуле (16) эластичность себестоимости

При x 60 Ex ( y) 0,6, т.е. при выпуске продукции, равном 60 млрд, увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%.

ПРИЛОЖЕНИЯ § 3. Вывод производных некоторых элементарных функций

1. y = xn , y nxn 1

1) x , x, x x.

x

4) переходим к пределу, воспользовавшись одним из важных пределов, полученных ранее:

Вычислим f (x) = log x и f (x x) loga (x x).

127

3.1. Правила дифференцирования (доказательства)

1. Производная алгебраической суммы двух функций равна алгебраиче-

ской сумме производных этих функций:

(u v) u v .

Доказательство. Рассмотрим функцию y f (x) u(x) v(x) ,

где u(x), v(x) дифференцируемые функции. Приращению аргумента x соответствуют приращения функций u и v :

128

Итак, (u v) u v .

Аналогично (u v) u v .

2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй, т.е.

(uv) u v uv .

Доказательство. Пусть y u v , u u(x) , v v(x).

Если x получит приращение x , то функции u(x) , v(x) и y получат соответственно приращения u, v, y .

Причем

y (u u)(v v) uv uv u v v u u v uv v u u v u v ,

129