Методическое пособие 389

Обычно все преобразования осуществляют над коэффициентами матрицы системы вместе со свободными членами, записывая их рядом, отделяя чертой.

Пример. Решить систему:

Запишем расширенную матрицу и произведем элементарные преобразования (умножаем первую строку на (-1), затем на (-4), на (-2) и складываем соответственно со второй, затем третьей и, наконец, с четвертой строками):

§ 3. Однородные системы линейных уравнений

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены всех уравнений равны нулю.

Рассмотрим, в частности, однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет нулевое решение x1 =0, x2 =0, x3 =0. Но однородная система может иметь и решения, от-

личные от нуля.

31

Теорема. Линейная однородная система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, то есть

Доказательство. Пустьсистема(2.11) имеетненулевоерешение (x1, x2 , x3 ).

Если определитель 0 , то на основании формул Крамера эта система обладает только нулевым решением, что противоречит условию. Следовательно, 0 .

Пусть 0 . Тогда система (2.11) либо несовместна, либо имеет бесчисленное множество решений. Но наша система совместна, так как имеется нулевое решение. Следовательно, система допускает бесконечно много решений, в том числе и ненулевое.

Рассмотрим способ нахождения ненулевых решений однородной системы (2.11) в типичном случае.

Пусть определитель системы равен нулю, но не все его миноры второго порядка равны нулю.

Будем предполагать, что

(этого можно добиться с помощью перестановки уравнений и изменениям нумерации неизвестных).

Рассмотрим систему, состоящую из первых двух уравнений :

a11x1 a12 x 2 a13 x 3 0,a 23 x1 a 22 x 2 a13 x 3 0.

По формулам Крамера решения этой системы имеют вид x1 A11t, x2 A21t, x3 A33t ,

32

§ 4. МодельЛеонтьевамногоотраслевойэкономики(балансовыйанализ)

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. Американским экономистом В.Леонтьевым.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идёт на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства), личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введем следующие обозначения: xi общий (валовой) объем продукции i й отрасли (i 1,2,...n);

xij объем продукции i й отрасли, потребляемой j й отраслью в процессе производства (i, j 1,2,...n);

yi объем конечного продукта i й отрасли для непроизводственного

потребления.

Так как валовой объем продукции любой i отрасли равен суммарному объему продукции потребляемой n отраслями и конечного продукта, то

n

xi xij yi , (i 1,2,...n). (2.12)

j 1

Уравнения (23) называются соотношениями баланса.

Рассмотрим стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (23), имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат

Показывающие затраты продукции i й отрасли на производство единицы продукции j й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производ-

33

ства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е. xij aij x j , (i, j 1,2,...n).

Вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Теперь соотношение баланса (3.1) примет вид

n

xi aij x j yi , (i 1,2,...n).

j 1

где X вектор валового продукта, Y вектор конечного продукта,

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X , который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y .

Перепишем уравнение (2.14) в виде

34

4. Вычислить определители способом треугольников и приписыванием

35

5. Вычислить определители, разложив их по элементам i -го столбца и j-й

36