Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Метод интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений по существу не отличается от метода интегрирования одного уравнения.
Пусть требуется найти частное решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
(2.17)
удовлетворяющее следующим начальным условиям:
(2.18)
В данной системе уравнений (2.17)
-постоянные
коэффициенты системы уравнений ;
-заданные
функции действительного переменного
,
являющиеся функциями-оригиналами.
Функции
вместе с их производными предполагаем
непрерывными функциями-оригиналами.
Пусть
Переходя к изображениям в системе уравнений (2.17) и учитывая свойство дифференцирования оригинала, получим следующую систему алгебраических уравнений:
(2.19)
Правые части и коэффициенты системы уравнений (2.19) усложняются с повышением порядка уравнений исходной системы дифференциальных уравнений (2.17).
Найдем главный определитель системы уравнений (2.19)
(2.20)
Полагаем, что
.
Тогда, применяя формулы Крамера, получим
,
где
- вспомогательный определитель,
получающийся из главного путем замены
-го
столбца свободными членами системы
уравнений (2.19).
Пример 1. Найти решение системы дифференциальных уравнений
при
начальных условиях
Решение.
Если считать, что
и
,
то по теореме дифференцирования оригинала
и
(для
краткости записи мы не пишем аргументы
функций). Система операторных уравнений
примет вид
или, после преобразования,
В
результате мы получили систему
алгебраических линейных уравнений
относительно неизвестных изображений
и
Решая
эту систему, находим
и,
возвращаясь к оригиналам,
Операционный метод в равной мере применим и для решения систем уравнений с производными высших порядков.
Пример 2. Найти решение однородной системы
при начальных условиях
.
Решение. Система операторных уравнений запишется в виде
Эту систему решим при помощи определителей. Определитель системы равен
Вычислим его, опираясь на свойства определителей (сначала к первому столбцу прибавим оба остальных столбца, а затем из второй и третьей строк вычтем первую; в результате этих преобразований определитель не изменится):
=
.
Вычислим
определители
=
=
=
Теперь находим изображения искомых решений:
Для перехода к оригиналам воспользуемся формулой, согласно которой:
Применяя
теорему дифференцирования оригинала,
находим
.
Снова
применяя эту же теорему, получим (каждый
раз значение оригинала при
равно нулю)
Пример 3. Решить систему уравнений с заданными начальными условиями
,
.
Решение. Пусть
;
;
.
Тогда, с учетом начальных условий,
получим
;
;
.
Переходя к изображениям запишем
Главный определитель этой системы равен
.
Вычислим вспомогательные определители
Тогда
Найдем оригиналы для полученных изображений. Для этого разложим имеющиеся дроби на простейшие, используя метод неопределенных коэффициентов
Переходя к оригиналам получим решение системы:
