7.6. Разложение функций в степенные ряды

Определение. Говорят, что функция разлагается в степенной ряд (7.4) или (7.5) на интервале , если на этом интервале данный степенной ряд сходится и его сумма равна , т.е.

при из . (7.21)

Основные теоремы о разложении функций в степенные ряды.

Теорема (одна и та же функция не может иметь двух разных разложений) степенной ряд (7.21), сходящийся на , является рядом Тейлора для своей суммы, т.е. его коэффициенты находятся по формулам Тейлора

(7.22)

а следовательно, коэффициенты ряда (7.22) определяются по его сумме однозначно.

Итак, если функцию в окрестности точки можно разложить в сходящийся к ней ряд, то он является для этой функции рядом Тейлора

. (7.23)

В случае если , полученный ряд называется рядом Маклорена

. (7.24)

Обратное утверждение, вообще говоря, не справедливо. Если функция бесконечно дифференцируема и для нее формально построен ряд Тейлора (7.23) или Маклорена (7.24), то он не всегда сходится к этой функции. Следующая теорема устанавливает условия разложимости функции в степенной ряд.

Теорема. Для того, чтобы функцию можно было разложить в степенной ряд (7.21) с радиусом сходимости , необходимо и достаточно, чтобы имела на этом интервале производные всех порядков и чтобы остаточный член в формуле Тейлора

где

стремился к нулю при для всех из интервала сходимости.

На практике при решении вопроса о возможности разложения функции в ряд Тейлора или Маклорена удобнее использовать достаточные условия, сформулированные ниже.

Теорема. Для того чтобы функцию можно было разложить в степенной ряд (7.21), достаточно, чтобы имела на интервале производные всех порядков и чтобы существовала такая постоянная , что при и всех из этого интервала, т.е. чтобы производные всех порядков были равномерно ограничены в совокупности на этом интервале.

Определение. Функция , разлагающаяся в ряд Тейлора, называется аналитической функцией.

Ряды Маклорена некоторых элементарных функций

Пример. Разложить в ряд по степеням функцию .

Решение. Продифференцировать функцию раз:

=

………………………………………………………………………

.

Найдем значение функции и производных до го порядка в точке , а значение в промежуточной точке для определения остатка . Получаем:

при при

Найдем остаточный член

где , . Поскольку - величина ограниченная и при любом имеет место равенство

то . Следовательно, функцию можно записать как сумму ряда Маклорена

.

7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра

Классические степенные ряды, изученные в этой главе, являются эффективным инструментом для различного рода уравнений, вычисления интегралов, исследования функций и моделирования некоторых физических и технических систем.

В высших разделах математического анализа используются ряды более общего типа. В течении нескольких последних десятилетий обобщения степенных рядов применялись при моделировании процессов в электрических цепях, в функциональной электронике, в механике полимерных и композитных материалов и в приложениях к исследованию устойчивости форм равновесия.

Определение. Пусть - функция, непрерывная по совокупности аргументов при из , - неотрицательные целые числа и . Выражения

(7.25)

называется интегро – степенным членом степени относительно и обозначается , где

Каждый интегро – степенной член (7.25) соответствует определенному набору чисел , т.е. определенному решению уравнения в целых неотрицательных числах .

Определение. Сумма всех интегро – степенных членов данной степени называется интегро – степенной формой и обозначается , т.е.

Выражение

(7.26)

называется интегро – степенным рядом.

Введем понятие сходимости ряда, часто применяемое в приложениях. Интегро – степенной ряд (7.26) называется регулярно сходящимся, если сходится числовой ряд

где

В частном случае, когда в интегро – степенном члене (7.25) а ядра интегралов обладают свойствами

для

если для интегро – степенной ряд (7.26) обращается в ряд Вольтерра:

(7.27)

где нижний предел в интегралах может быть равен .

Если во всех интегралах (7.27) выполнить замену переменных для , и положить , то ряд Вольтерра примет вид

(7.28)

В такой форме ряды Вольтерра чаще всего встречаются в приложениях.

Пусть сумма ряда (7.27) или (7.28) равна и аргумент имеет смысл времени. Из вида членов ряда следует, что значение функции в момент времени определяется значениями функции во все предшествующие моменты времени . Таким образом, если физическая величина определяется формулой (7.27) или (7.28) через величину , то физическая система обладает памятью – система “помнит”' свою историю. Именно это свойства обусловливает применение рядов Вольтерра для описания свойств физических и технических систем. В частности, ряд вида (7.28) используется в механике полимеров для представления связи между напряжением и деформацией.