5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда

В качестве примера определения постоянных и в решении уравнения Лапласа рассмотрим следующую краевую задачу. Найти распределение потенциала внутри прямоугольного параллелепипеда, на пяти гранях которого потенциал равен нулю, а на одной грани принимает заданные значения (см. рисунок 11)

Задача заключается в нахождении решения уравнения

, (5.28)

удовлетворяющего следующим граничным условиям

, (5.29)

, (5.30) , . (5.31)

Для решения краевой задачи (5.28)-(5.31) возьмем решение уравнения Лапласа в виде суперпозиции функций (5.15)

, (5.32)

Ф=V (x,y)

z

c

Ф=0

Ф=0

y

a

b

x

Ф=0

Рис. 11

где все – постоянные. Используем условие в (5.29) на границе . Учитывая, что

,

собирая члены, содержащие и , получим

.(5.33)

Используя формулу сложения гармоник

, (5.34)

где , , преобразуем (5.33) к виду

, (5.35)

, ; , .

Для преобразования левой части граничного соотношения (5.35) воспользуемся снова формулой сложения синусоидальных величин 8]

, (5.36)

, .

В результате применения формулы (5.36) получим окончательный вид граничного условия при :

, (5.37)

,

.

Условие (5.37) должно выполняться при и для всех значений y и z, удовлетворяющих равенствам , . Отсюда следует, что . Это, в свою очередь влечет выполнение равенств .

Таким образом, чтобы решение (5.32) удовлетворяло граничному условию при нужно в решении (5.32) сохранить лишь функции

. (5.38)

Потребуем теперь выполнение граничного условия при – первого из условий (5.30). Из вида функций в формулах (5.15) замечаем, что при , а функции и в ноль не обращаются. Проведя рассуждения, подобные тем, что привели нас к виду граничного условия (5.37) при , получим, что для выполнения условия при в выражение для потенциала принимает вид

. (5.39)

Граничное условие при (5.32) приводит к требованию и следующему виду искомого решения

,(5.40)

где , , - произвольные постоянные.

Из граничного условия (5.29) при следует с учетом вида (5.40)

, .

Аналогично условие при в соответствии с (5.30) приводит к определению значений параметра :

, .

Из последних двух соотношений получаем

.

В результате учета полученных следствий граничных условий на пяти гранях параллелепипеда можем записать частное решение уравнения Лапласа

. (5.41)

которое удовлетворяет всем граничным условиям, кроме условия на грани . Здесь мы положили .

Очевидно, что решение (5.41) не удовлетворяет, вообще говоря, условию , поскольку заданная на этой грани функция в достаточной мере произвольна. Для учета граничного условия на грани считаем, что потенциал можно разложить в двойной ряд по функциям вида (5.41)

. (5.42)

Коэффициенты этого ряда должны определяться из последнего граничного условия в (5.31)

. (5.43)

Соотношение (5.43) представляет собой разложение функций в двойной ряд Фурье по синусам. Как известно, из теории рядов Фурье для функций двух переменных 9], коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

. (5.44)

Таким образом, решение уравнения Лапласа (5.28), удовлетворяющее граничным условиям (5.29) - (5.31), дается выражениями (5.42) и (5.44). Эти формулы определяют потенциал внутри параллелепипеда.

Если потенциал отличен от нуля на всех гранях параллелепипеда, то искомое решение внутри объема можно получить как линейную комбинацию шести решений типа (5.42), (5.44), соответствующих каждой грани.