- •Прикладная механика Учебное пособие
- •Прикладная механика
- •Введение
- •1.Основные понятия и аксиомы статики твердого тела
- •1.1.Основные понятия и определения
- •1.2.Аксиомы статики
- •1.3.Основные типы реакций связей
- •1.4.Система сходящихся сил
- •1.5.Момент силы относительно точки и оси
- •2.Плоская система сил
- •2.1.Различные формы условий равновесия плоской системы сил
- •2.2.Центр параллельных сил
- •2.3.Центр тяжести. Определение координат центра тяжести плоских фигур
- •3.Кинематика точки и твердого тела
- •3.1.Способы задания движения точки
- •3.1.1.Естественный способ задания движения точки
- •3.1.2.Координатный способ задания движения точки
- •3.2.Простейшие движения твердого тела
- •3.2.1.Поступательное движение
- •3.2.2.Вращательное движение
- •4.Сложное движение
- •4.1.Сложное движение точки
- •4.1.1.Относительное, переносное и абсолютное движение
- •4.1.2.Теорема о скорости точки в сложном движении
- •4.1.3.Плоскопараллельное движение твердого тела
- •4.1.4.Разложение плоскопараллельного движения на поступательное и вращательное
- •4.1.5.Скорость точки плоской фигуры
- •4.1.6.Мгновенный центр скоростей и распределение скоростей точек плоской фигуры
- •5.Дифференциальные уравнения и основные задачи динамики материальной точки
- •5.1.Основные положения динамики. Аксиомы динамики
- •5.2.Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •5.3.Две основные задачи динамики точки
- •6.Динамика относительного движения материальной точки
- •6.1.Динамические дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •6.2.Частные случаи динамической теоремы Кориолиса
- •7.Динамика твердого тела
- •7.1.Понятие о механической системе
- •7.2.Принцип Даламбера
- •7.3.Основное уравнение динамики вращающегося тела
- •7.4.Моменты инерции простейших однородных тел
- •8.Элементы аналитической механики
- •8.1.Обобщенные координаты
- •8.2.Возможные перемещения
- •8.3.Принцип возможных перемещений
- •9.Основы теории колебаний, теории удара
- •9.1.Устойчивость положения равновесия
- •9.2.Колебания системы с одной степенью свободы
- •9.3.Общие положения теории удара
- •10.Задачи сопротивления материалов
- •10.1.Основные допущения
- •10.2.Напряжения
- •10.3.Перемещения и деформации. Закон Гука
- •11.Растяжение и сжатие.
- •11.1.Диаграмма растяжения.
- •11.2.Методы расчета строительных конструкций.
- •12.Геометрические характеристики плоских сечений
- •12.1.Моменты инерции сечения
- •12.2.Момент инерции при параллельном переносе осей
- •13.Изгиб и кручение стержней
- •13.1.Расчеты на прочность при кручении стержней. Крутящий момент. Построение эпюр
- •13.2.Расчеты на прочность при изгибе стержней
- •Примеры
- •14.Устойчивость сжатых стержней
- •14.1.Основные понятия
- •14.2.Формула Эйлера для критической силы
- •14.3.Влияние способа закрепления концов стержня на значение критической силы
- •14.4.Практический расчет сжатых стержней
- •15.Теория тонких пластин
- •15.1.Основные понятия и гипотезы
- •15.2.Соотношения между деформациями и перемещениями
- •15.3.Напряжения и усилия в пластинке
- •15.4.Усилия в пластинке
- •15.5.Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки
- •16.Прочность материалов при циклически меняющихся напряжениях
- •16.1.Понятие об усталостном разрушении материала и его причины
- •16.2.Характеристики циклов напряжений
- •16.3.Предел выносливости
- •16.4.Факторы, влияющие на усталостную прочность материала
- •17.Проблемы теории механизмов и машин
- •17.1.Кинематические пары и кинематические цепи
- •17.2.Структура и кинематика плоских механизмов
- •18.Структурное исследование механизмов
- •18.1.Степень подвижности механизма
- •18.2.Классификация механизмов
- •19.Кинематическое исследование плоских стержневых механизмов
- •19.1.Методы исследования
- •19.1.1.Графический метод кинематического исследования механизмов
- •19.1.2.Определение скоростей и ускорений точек звеньев методом планов
- •19.1.3.Свойство планов скоростей
- •19.1.4. Построение плана скоростей и ускорений кулисного механизма
- •20.Механизмы с высшими парами. Зубчатые механизмы
- •20.1.Зубчатые передачи
- •20.1.1.Общие сведения. Основная теорема зацепления.
- •20.1.2.Геометрические элементы зубчатых колес
- •21.Кулачковые механизмы
- •21.1.Виды кулачковых механизмов
- •21.2.Проектирование кулачковых механизмов
- •22.Методика силового расчета механизмов
- •22.1.Методы силового исследования механизмов
- •22.1.1.Силы, действующие на звенья механизма
- •22.1.2.Силы инерции звена, совершающего возвратно-поступательное движение
- •22.1.3. Силы инерции звена, совершающего вращательное движение вокруг неподвижной оси (рис. 20.2)
- •22.1.4.Силы инерции звена, совершающего плоско-параллельное движение (рис. 20.3)
- •22.2.Определение реакций в кинематических парах групп Ассура
- •22.2.1.Силовой расчет начального звена (рис. 20.4, а)
- •23.Динамика машинного агрегата
- •23.1.Кинетическая энергия механизма
- •23.2.Приведение масс и сил
- •23.3.Режимы работы машин
- •23.4.Уравнение движения механизма
- •24.Детали машин и механизмов
- •24.1.Общие сведения о проектировании деталей машин
- •24.2.Виды нагрузок, действующих на детали машин
- •24.3.Основные сведения о проектировании и конструировании
- •24.4.Стадии разработки конструкторской документации
- •25.Зубчатые механизмы
- •25.1.Классификация зубчатых передач
- •25.2.Виды разрушения зубьев. Критерии работоспособности и расчета
- •25.3.Расчет основных геометрических параметров цилиндрических прямозубых колес
- •25.4.Расчет зубьев цилиндрических прямозубых зубчатых колес на изгиб
- •25.5.Расчет зубьев цилиндрических зубчатых колес на контактную прочность
- •26.Конические зубчатые передачи
- •27.Общие сведения о разъемных и неразъемных соединениях
- •27.1.Неразъемные соединения
- •27.2.Разъемные соединения
- •27.2.1.Шпоночные и шлицевые соединения
- •28.Допуски и посадки
- •28.1.Взаимозаменяемость и технологичность деталей машин
- •29.Надежность деталей машин и механизмов. Основные понятия теории надежности
- •30.Оси и валы
- •30.1.Общие сведения
- •30.2.Проектный расчет валов и осей
- •30.2.1.Составление расчетных схем
- •30.2.2.Расчёт опасного сечения
- •30.3.Проверочные расчеты валов и осей
- •30.3.1.Расчет на выносливость валов и вращающихся осей
- •30.3.2.Расчет валов и неподвижных осей на статическую прочность
- •30.4.Проверочный расчет валов и осей на жесткость
- •31.Подшипники, муфты
- •31.1.Подшипники
- •31.1.1.Подшипники скольжения
- •31.1.2.Подшипники качения
- •32.Муфты
- •32.1. Назначение и классификация
- •32.2. Постоянные муфты
- •32.3.Управляемые муфты
- •32.4.Самоуправляемые муфты
- •Заключение
- •Библиографический список
- •3 94026 Воронеж, Московский просп., 14
9.2.Колебания системы с одной степенью свободы
Механическая система с одной степенью свободы в случае голономных, идеальных, неосвобождающих связей имеет одну обобщенную координату q и ее движение описывается одним уравнением Лагранжа:
. (9.1)
Обобщенную силу Q можно считать состоящей из трех частей:
Q=QП+QФ+QВ. (9.2)
Обобщенная сила потенциальных сил выражается через потенциальную энергию по формуле QП=–П/q.
QФ – обобщенная сила от действия сил сопротивления.
Часть обобщенной силы QВ получается от так называемых возмущающих сил, зависящих прежде всего от времени.
Рассмотрим малые колебания системы с одной степенью свободы под действием одних потенциальных сил. Считаем, что сил сопротивления и возмущающих сил нет. Такие колебания называются собственными, или свободными. В случае малых колебаний системы получается линейное дифференциальное уравнение для обобщенной координаты q.
Выражение для кинетической энергии можно представить в виде
,
где a – называется коэффициентом инерции. Потенциальная энергия определяется в соответствии с выражением П(q)=1/2cq2, где c – коэффициент жесткости. Составляющие уравнения Лагранжа для этого случая имеют вид:
.
Подставляя эти значения производных в уравнение Лагранжа, получим дифференциальное уравнение малых, собственных колебаний системы с одной степенью свободы:
. (9.3)
Если разделить обе части уравнения (9.3) на a и обозначить c/a=k2, то получим дифференциальное уравнение собственных колебаний системы с одной степенью свободы в форме:
. (9.4)
Постоянная величина k называется круговой, или циклической частотой колебаний. Для прямолинейных колебаний материальной точки (рис. 9.2), на которую действует сила Fx=–c0x, имеем , где k2=c0 /m.
Рис. 9.41
Решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (9.4) будем искать в виде q=et. После подстановки этого выражения в (9.4) получаем характеристическое уравнение: 2+k2=0.
Это квадратное уравнение имеет два чисто мнимых корня 1,2=ki. Решение уравнения (9.4) можно представить в виде
q=C1cos(kt)+C2sin(kt) (9.5)
и для обобщенной скорости
. (9.6)
Произвольные постоянные C1 и C2 определяются из начальных условий: , где q0 и – начальные значения обобщенной координаты и обобщенной скорости. Используя выражения для q и при t=0, получаем . Подставляя их значения в (9.5), имеем:
(9.7)
9.3.Общие положения теории удара
Силы, действующие на тела, подразделяют на силы, изменяющие скорости точек в течение некоторого конечного промежутка времени (конечные силы) и силы, изменяющие скорости точек в течение весьма малого промежутка времени (мгновенные, или ударные, 0.1–0.01 с).
Мгновенной, или ударной, называют силу, действующую в течение весьма малого промежутка времени, но достигающую при этом таких больших значений, что ее импульс за это время становится конечной величиной.
Пусть F – ударная сила, – время действия этой силы, тогда импульс за промежуток времени : . Здесь S – конечная величина. Это возможно в случае, если величина силы порядка 1/, где – малая величина. Импульс S называют ударным. Явление, при котором возникают мгновенные, или ударные, силы, называют ударом.
Процесс удара рассмотрим на примере соударения двух тел А и В (рис. 9.3). Допустим, что соприкосновение происходит в одной точке.
Рис. 9.42
Тело А в момент соприкосновения имеет скорость V1, а тело В – скорость V2 (для определенности допустим, что V1> V2). Общую нормаль к поверхности соударяющихся тел в точке их соприкосновения назовем линией удара.
Удар называют центральным, если центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара. Центральный удар называют прямым, если скорости центров масс соударяющихся тел в начале удара направлены по линии удара. Тела А и В считаем абсолютно гладкими. После момента соприкосновения оба тела деформируются, при этом скорость тела А уменьшается, а скорость тела В увеличивается. Процесс деформации заканчивается тогда, когда скорости тел станут равными. Эту часть явления удара называют фазой деформации 1. Ударный импульс силы F за фазу деформации: .
Импульс силы за эту же фазу обозначим . Если тела упруги, то после деформации они восстанавливают свою форму целиком и полностью. Эту часть явления удара называют фазой восстановления (продолжительность этой фазы 2). Импульс ударной силы, действующей на тело А, за эту фазу восстановления
,
где =1+2 (полная продолжительность удара).
Эффект действия ударной силы оценивается по ее импульсу – конечной величине. Общие теоремы, применяемые к удару, формулируют так, чтобы в них входили не ударные силы, а ударные импульсы.
Упругость соударяющихся тел оценивают по коэффициенту восстановления k=S2/S1.
При k=0 величина S2=0, т.е. фаза восстановления отсутствует – абсолютно неупругий удар.
В случае k=1 величина S2=S1 можно считать, что за фазу восстановления тела полностью восстанавливают свою форму (абсолютно упругий удар).
При 0<k<1 происходит удар тел средней упругости и этот удар называют упругим.
Основное уравнение динамики точки при ударе: изменение количества движения материальной точки за время удара равно ударному импульсу, приложенному к точке
mu – mv=S,
где скорость точки в начале удара v, в конце удара u.
Из этого уравнения для скорости материальной точки в конце удара находим
u=v+S/m .
На рис. 9.4 указаны скорость v в начале удара, ударный импульс S и скорость u в конце удара, при этом векторы v и u построены в одной точке.
Рис. 9.43