Нормирование управляемых и выходных параметров

Пространство управляемых параметров - метрическое. Возможны различные способы нормирования.

В качестве примера рассмотрим способ логарифмического нормирования, достоинством которого является переход от абсолютных приращений параметров к относительным. В этом случае i-ый управляемый параметр u_i преобразуется в безразмерный параметр x_i следующим образом:

, (10.6)

где - коэффициент, численно равный единице параметра u_i.

10.2. Классификация оптимизационных задач

Подавляющее большинство оптимизационных задач, возникающих на практике, приводятся к следующему виду:

найти
при ограничениях

Даже те задачи, которые сами по себе в эти рамки не укладываются, часто могут быть сведены к последовательности стандартных.

Однако существование столь универсальной формы представления вовсе не означает, что различиями между отдельными задачами следует пренебрегать. Наоборот, имея дело с конкретной постановкой, всегда надо постараться использовать ее особенности для того, чтобы организовать поиск решения самым эффективным образом.

Определить признаки, по которым можно разумно классифицировать оптимизационные задачи - проблема не простая. Самым подробным способом “классификации” было бы считать каждую задачу уникальной.

Хотя и набора признаков для всех случаев жизни, не существует, достаточно разумный список составить можно. Поскольку имеется в виду, что разным классам задач будут отвечать разные алгоритмы решения, этот список должен быть результатом соразмерения выгод от эксплуатации выделяемых свойств и затрат на разработку соответствующего математического обеспечения.

Наиболее очевидные различия между задачами связаны с математическими характеристиками их функций. В приведенной ниже таблице 5 дана стандартная схема классификации оптимизационных задач по типах их функций. Каждый из перечисленных признаков существенен для выбора алгоритма решения.

Таблица 5

Тип F(x)	Типы (ci(x))
Функция одной переменной	Ограничения отсутствуют
Линейная функция	Простые ограничения на переменные
Сумма квадратов линейных функций	Простые ограничения на переменные
Квадратичная форма	Линейные функции
Сумма квадратов нелинейных функций	Линейные функции с разреженной матрицей коэффициентов
Гладкая нелинейная функция	Гладкие нелинейные функции
Нелинейная функция с разреженной матрицей Гессе	Гладкие нелинейные функции с разреженной матрицей Якоби

В соответствии с данной таблицей выделяется, например, категория задач на поиск минимума гладкой нелинейной функции при простых ограничениях на переменные. Помимо названных существуют и другие признаки классификационных оптимизационных задач. Среди них обязательно следует упомянуть размерность.

От нее зависит сколько памяти и вычислений потребуется для поиска решения тем или иным методом. Классификация по размерности всегда относительна: считать ли задачу большой или маленькой, определяется тем, какие вычислительные средства имеются в распоряжении. Еще один показатель, который может существенно различаться для разных задач и всегда учитывается при выборе алгоритмов, - это доступность производных. В одних задачах аналитические значения первых и вторых производных целевой функции вычисляются легко, а в других вычислению поддаются точные значения лишь самой функции. Когда говорят о доступности производных, то имеют ввиду не только возможность построения процедуры расчета их точных значений, но и приемлемую трудоемкость этой процедуры. Наконец, выбор алгоритма может определяться природой задачи и нуждами исследования, в рамках которого она возникла. Эти “внешние” факторы часто диктуют условия, никоим образом не вытекающие из математической постановки задачи. Когда-то арсенал методов оптимизации был небогат, эти методы были простыми и казалось естественным положение, когда каждый, кому нужно было решить оптимизационную задачу, шел в библиотеку, подыскивал описание подходящей схемы в каком-нибудь журнале (а то и сочинял свою схему) и самостоятельно программировал ее. Однако времена меняются, и сегодня подобное положение было бы неприемлемо.