2. Задачи с параметрами
Пример
1.
Решим
уравнение:
Уравнение – линейное уравнение. Качественное изменение уравнения происходит при тех значениях а, при которых коэффициент при x обращается в ноль. То есть, контрольные значения параметра:
При а =0 уравнение примет вид:
Это уравнение не имеет решений.
При а =1 уравнение имеет вид:
Это уравнение имеет бесконечно много решений, решение – любое xR.
Если а 0, а 1, то уравнение имеет единственное решение:
Ответ: При а=0 уравнение не имеет решений. При а=1 уравнение имеет решением любое xR. При а0, а1 уравнение имеет единственное решение
Пример
2.
При каких значениях а
уравнение:
имеет равные корни?
Квадратное
уравнение имеет равные корни, если его
дискриминант равен 0, то есть:
Ответ:
Уравнение имеет равные корни при а=2
и а=
Пример
3.
Найдите
все значения параметра
,
при каждом из которых множество решений
неравенства
содержит какой-нибудь отрезок длиной
2, но не содержит никакого отрезка длиной
3.
Проведем равносильные преобразования. ,
,
,
,
,
.
2.
Так как
,
то
и
должны быть противоположных знаков,
т.е. получаем систему
,
равносильную исходному неравенству.
При
и при
множество решений – это интервал
.
При
множество решений – это объединение
двух интервалов.
3. Интервал содержит отрезок длины 3. Значит, и не удовлетворяют условию задачи.
Если
,
то в интервале
,
длина которого больше 3, есть отрезок
длиной 3 и такие
не удовлетворяют условию задачи. Если
,
то в интервале
,
длина которого больше 3, есть отрезок
длиной 3 и такие
не удовлетворяют условию задачи.
4.
Если
(если
),
то длины интервалов
и
не больше 3. Поэтому в них нет отрезков
длиной 3. При этом длина интервала
(длина интервала
),
больше 2. Поэтому в них есть отрезок
длиной 2 и, значит, такие
удовлетворяют условию задачи. Если же
,
то в объединении
нет отрезков длиной 2, так как длины этих
интервалов равны 2. Значит,
не удовлетворяет условию задачи.
|
|
Пример
4.
При
каких значениях а выражение
не равно нулю ни при каких значениях х?
Переформулируем
задание: найти а,
при которых уравнение
не имеет решения?
Выполним
тождественные преобразования и приведем
уравнение к квадратному относительно
:
;
;
;
.
Полученное уравнение не имеет решения, если дискриминант отрицательный:
;
;
. Ответ:
.
Пример 5. Найти все целые значения параметра а, при которых неравенство
не
имеет решений.
Найдем область определения неравенства:
.
Найдем
значения а,
при которых
- не является решением данного неравенства.
Пусть
- решение данного неравенства. Это
значит, что
,
т.е.
.
Следовательно, при
не является решением.
Теперь
найдем те значения а,
при которых
не является решением данного неравенства.
Это значит, что
,
т.е.
.
Следовательно, при
не является решением.
Найдем
те значения а,
при которых и
и
не являются решениями данного неравенства.
Это
.
Целыми значениями а
из полученного интервала является
.
Ответ: .
Пример 6. Исследовать сколько решений имеет уравнение
в зависимости от значений параметра a .
Рассмотрим две равносильные записи уравнения: исходную и
.
Им отвечают свои геометрические образы. Осуществим реализацию геометрического подхода к решению уравнений с параметром в каждом случае.
На
рис. 3 приведены графики функций
и
.
Функция
определяет семейство параллельных друг
другу прямых L
с угловым коэффициентом
.
При изменении a
от
до некоторого значения
,
при котором прямая L1
проходит через точку А, графики функций
и
не пересекаются и соответственно
уравнение не имеет решения. В точке А:
,
откуда
.
Таким
образом, при
уравнение (5) не имеет решений, при
имеет одно решение
.
При
дальнейшем увеличении параметра а
прямая L:
будет пересекаться с графиком функции
в 2 точках при
в
.
3 точках при
(прямая L
проходит через начало координат) и при
(прямая L
проходит через точку B
– является касательной к графику
функции
);в 4 точках при
;в 2 точках при
.
Найдем
оставшееся единственное неизвестное
значение
параметра
.
Из условия касания графиков функций
и
в точке B
имеем
Итак, при - уравнение не имеет решений; Рис. 3
- одно решение;
-
два
решения;
-
три
решения;
- четыре решения.